Retiro Cultural - O Último Teorema de Fermat

"Fermat’s Enigma: The Epic Quest to Solve the World’s Greatest Mathematical Problem"

By Symon Singh

Walker and Company

New York

1997

"I have discovered a truly marvelous proof, which this margin is too narrow to contain."

— Pierre de Fermat

"With these tantalizing words, the seventeenth-century French mathematician Pierre de Fermat threw down the gauntlet to future generations. What came to be known as Fermat’s Last Theorem looked simple, yet the finest mathematical minds would be baffled for more than 350 years. Fermat’s Last Theorem became the Holy Grail of mathematics. Whole and colorful lives were devoted, and even sacrificed, to finding a proof. Leonhard Euler, the greatest mathematician of the eighteenth century, had to admit defeat. Sophie Germain took on the identity of a man to do research in a field forbidden to females, and made the most significant breakthrough of the nineteenth century. The dashing Évariste Galois scribbled down the results of his research deep into the night before venturing out to die in a duel in 1832. Yutaka Taniyama, whose insights would ultimately lead to the solution, tragically killed himself in 1958. On the other hand, Paul Wolfskehl, a famous German industrialist, claimed Fermat had saved him from suicide, and stablished a rich prize for the first person to prove the theorem. And then came Princeton professor Andrew Wiles, who had dreamed of proving Fermat’s Last Theorem ever since he first read of it as a boy of tem in his local library. In 1933, some 356 years after Fermat’s challenge, and after seven years of working in isolation and secrecy — "a kind of private and very personal battle I was engaged in" — Wiles stunned the world by announcing a proof, though his own journey would be far from over. Fermat’s Enigma is the story of the epic quest to solve the greatest math problem of all time. A human drama of high dreams, intellectual brilliance, and extraordinary determination, it will bring the history and culture of mathematics into exciting focus for all who read it."

— From the cover

Andrew Wiles demonstrou em 1994, finalmente, o Último Teorema de Fermat (UTF), um fato que se compara à descoberta de que o átomo é divisível ou à a descoberta da estrutura do ADN como observou John Coates, matemático de Cambridge, Inglaterra, ex-orientador de Andrew. Gerações de matemáticos foram envolvidos nesta batalha de cerca de 350 anos que influenciou, praticamente, toda a Matemática.

Para Andrew o problema mais famoso da Matemática nestes últimos quatro séculos tornou-se uma obsessão desde quando, aos 10 anos de idade, pôs as mãos no livro de Eric Temple Bell, "O Último Problema". Este problema parecia tão simples mas os grandes matemáticos destes quatro séculos não puderam resolvê-lo. Andrew achou que tinha que ser ele a resolvê-lo.

Pierre de Fermat era um Conselheiro da Câmara de Requerimentos de Toulouse, na França de 1631. Sua responsabilidade estava ligada à condenação de pessoas à morte na fogueira e porisso não podia ter muitas amizades. Em seu tempo livre dedicava-se à Matemática. Fermat ficou conhecido como o "Príncipe dos Amadores" por ter descoberto as leis da probabilidade, os fundamentos do cálculo diferencial e elegantes e difíceis teoremas sobre números inteiros.

Fermat tinha um prazer especial em provocar embaraços aos matemáticos da época, em particular aos ingleses. Quis o destino que um inglês, Andrew Wiles, fosse o escolhido para colocar um fim nas provocações de Fermat. A mais terrível delas era conhecida como o "O Último Teorema de Fermat" que se originou de uma observação feita por Fermat numa página de sua cópia do Arithmetica de Diophantus. Fermat afirmou que encontrara uma demonstração maravilhosa para o fato de que x^n+y^n=z^n não tem solução para números inteiros e positivos quando n>2, mas ela não cabia naquela margem.

A história dos detalhes de como esta afirmação se tornou a mais terrível provocação de Fermat é magistralmente contada por Simon Singh em seu livro "O Enigma de Fermat", edição americana, ou "O Último Teorema do Fermat", edição inglesa. O livro de Singh tornou-se o livro mais vendido no mundo sobre o UTF. Não é difícil saber por que. Singh foi talentoso na escolha de episódios divertidos, dramáticos e até trágicos, da História da Matemática, e na concate-nação deles para descrever ao grande público a conquista mais famosa da Matemática.

Mais uma vez o acaso, ou o caos, parece estar presente de um modo intenso. Talvez isto explique parte do fascínio que o livro de Singh tem exercido sobre seus leitores. Em 1954 dois jovens matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, iniciaram uma amizade porque Shimura ficara sabendo que o volume 24 do Mathematische Annalen não estava na prateleira da biblioteca onde deveria estar. Taniyama o havia retirado. O impressionante é que os dois estavam interessados no mesmo artigo e nos mesmos cálculos. Desse interesse comum nasceria uma amizade e uma das conjecturas mais significativas da Matemática que inspirou o famoso e importante "Programa de Langlands", um grande projeto de pesquisa matemática para o futuro em busca de profundas relações entre as várias áreas da Matemática.

A conjectura de Taniyama-Shimura permitiu a Andrew realizar seu sonho de menino, empregando um esforço intelectual e uma determinação difíceis de acreditar como possíveis a um ser humano.

Em 1742, o maior matemático do Século18, Leonhard Euler, pediu a seu amigo Clerôt para vasculhar a casa de Fermat em busca de algum pedaço de papel com alguma indicação da demonstração do UTF. Nada foi achado. Euler conseguiu demonstrar o UTF para n=3 e atribui-se a Fermat a demonstração do caso n=4. No Século 19, Sophie Germain teve que assumir a identidade de um homem para conduzir suas pesquisas matemáticas. Ela fez o maior progresso do século na solução do UTF. Novas áreas de pesquisa matemática surgiram a partir do trabalho de Sophie, embora ela não tenha obtido a solução do UTF.

Por volta de 1900, um industrial alemão, Paul Wolfskehl, enquanto esperava a hora do seu suicídio planejado, lia as últimas idéias sobre o UTF e, de repente, vislumbrou a possibilidade de consertar um engano no trabalho de Kummer e, talvez, obter uma demonstração do UTF. Quando percebeu a falha em sua estratégia a hora do suicídio havia passado. Ele então instituiu o prêmio de 100.000 marcos alemães, o que seria hoje cerca de 1 milhão de dólares, para quem conseguisse demonstrar o UTF. Andrew viria a receber este prêmio em 1997 transformado em 75.000 marcos alemães atuais devido à inflação.

David Hilbert, o grande matemático do início deste século, quando perguntado sobre por que não se candidatava ao prêmio, disse que mesmo que estudasse intensamente por 3 anos, provavelmente também não teria sucesso.

Andrew estudou os modos como Euler, Sophie, Kummer, Lamé, Cauchy e outros, tentaram resolver o UTF. Mas em 1975, para se tornar um matemático em Cambridge, Inglaterra, foi aconselhado a se dedicar a problemas mais contemporâneos. Por dez anos ele se rendeu mas sem esquecer do UTF, mantendo-se sempre atento a qualquer pista que pudesse aparecer.

Gerhard Frey, matemático alemão, iria descobrir em 1985 que a conjectura de Taniyama-Shimura poderia implicar o UTF. Foram 30 anos sem progresso nesta conjectura e, agora, Frey percebera, que dentre os inúmeros resultados que esta poderosa conjectura implicava, estava o UTF. Mas foi Kenneth Ribet, professor da Universidade da Califórnia em Berkeley, que deu o argumento completo e rigoroso. Mas a difícil conjectura estava há 30 anos sem progresso algum. Por que, pensava Ribet, alguém iria ser capaz de demonstrá-la agora?

Mas havia Andrew. Uma noite em 1986 Andrew tomava chá na casa de um amigo que, casualmente, no meio da conversa, mencionou a demonstração de Ken Ribet de que a brilhante idéia de Frey funcionava, isto é, que se a conjectura de Taniyama-Shimura fosse verdadeira, então o UTF seria verdadeiro também. Andrew ficou eletrizado. Mesmo que não conseguisse demonstrar a dificílima conjectura, poderia produzir matemática nova de qualidade, o que era profissionalmente muito adequado e, ao mesmo tempo, retomar seu sonho de menino.

Durante 7 anos, Andrew viveu uma nova vida. Singh nos conta detalhes emocionantes. A relação com a obra de Évariste Galois leva Singh a descrever um pouco da trágica vida deste matemático genial que morreu num duelo aos 20 anos de idade.

A luta de Andrew é árdua. Diz ele que é como entrar numa mansão completamente escura. Você vai colidindo com a mobília e gradualmente aprende onde cada peça está. Após uns seis meses você encontra o interruptor da luz. Agora você vê exatamente onde está mas outros seis meses o aguardam na escuridão do próximo compartimento da casa.

A narração de Singh é cada vez mais emocionante. Ela prima por uma riqueza de detalhes cujo prazer de leitura é quase indescritível, pelo menos segundo leitores que enviaram suas opiniões para a "home-page" da Amazon.com.

Em maio de 1993, Andrew havia feito imensos progressos. Se quisesse, poderia publicar seus resultados parciais e suas inovações, até aquele ponto, e só com isto já estaria revolucionando a geometria algébrica, a geometria aritmética e a teoria dos números, no mínimo. Mas ele estava em busca da realização do seu sonho de infância, ele queria demonstrar o UTF. Numa certa manhã, lendo um trabalho de Barry Mazur, sobre matemática do Século 19, Andrew enxergou o passo que faltava para que sua estratégia de usar o método de Kolyvagin-Flach, na sua demonstração, funcionasse. Uma grande coincidência: em junho haveria novamente o famoso seminário anual de matemática em Cambridge, justamente sua terra natal, onde estariam os únicos matemáticos do mundo capazes de julgar matematicamente sua demonstração.

Andrew tornou-se, neste seminário, o matemático mais famoso do mundo. Mas haveria mais uma tarefa difícil. Os juízes do seu trabalho teriam que comprovar a sua demonstração de 200 páginas, linha por linha. Nesta altura do livro, Singh narra aquela que talvez seja a parte mais emocionante desta estória. Aparece uma falha fundamental na demonstração de Andrew. Ele então fica sob o foco e a pressão dos olhares do mundo todo. Torna-se dramática a sua luta para consertar esta falha porque desse modo é muito mais difícil trabalhar e há ainda toda uma tradição secular de insucesso na demonstração. Andrew chega perto de desistir. Mas, se for para desistir, pelo menos há que se esclarecer completamente por que não teria funcionado a estratégia de utilizar o método de Kolyvagin-Flach na demonstração. Finalmente, em 19 de se-tembro de 1994, após uma profunda análise da falha em sua demonstração, Andrew descobre que, embora este método não estivesse funcionando totalmente, ele era suficiente para que a retomada de uma estratégia que abandonara em 1991, baseada na teoria de Iwasawa, justamente sua área de pesquisa, eliminasse a última falha de sua demonstração. Andrew viu claramente como agora poderia combinar as duas teorias e completar sua demonstração do UTF.

Na verdade Andrew precisou demonstrar apenas parte da conjectura de Taniyama-Shimura. Ele mostrou que toda curva elíptica sobre os racionais e semi-estável é modular, enquanto que a conjectura completa afirma que "toda" curva elíptica sobre os racionais é modular.

Depois de 90 anos, e 10 anos antes de expirar o prazo de validade, Andrew recebe, em 1997, o Wolfskehl Prize, o mais honroso prêmio entre todos os outros que recebeu ou ainda receberá pela solução do problema mais famoso da Matemática neste últimos quatro séculos.

As duas resenhas sobre este livro, uma do famoso físico Roger Penrose, publicadas no New York Times foram muito favoráveis ao trabalho de Singh. O professor Roger Penrose, recomenda fortemente a leitura do livro e menciona algumas reservas quanto às descrições matemáticas de Singh que causam um pouco de confusão devido a alguma lacuna. Ele recomenda a edição inglesa por achá-la mais completa em relação à parte matemática mas não diz exatamente quais são estas reservas.

Jornais de outros países teceram grandes elogios ao livro. O leitor que pesquisar estes temas na Internet, em poucos minutos poderá obter muito mais informações.

Quanto ao leitor que queira ler esta tradução da edição inglesa para a língua portuguesa, da Editora Record, talvez sejam úteis alguns comentários. Parece haver algumas dificuldades de tradução. Por exemplo, não dizemos "prova de teorema" mas sim "demonstração do teorema" e prova e demonstração não são termos equivalentes. Não dizemos "a invariante" mas sim "o invariante". Não dizemos "trio pitagórico" mas sim "terna pitagórica". Há mais alguns outros pontos problemáticos da tradução, como por exemplo, o fato de que "Diophantus" foi traduzido para "Diofante" mas "Pierre de Fermat", por exemplo, não foi traduzido. Por que esta assimetria? Não seria melhor deixar os nomes nos seus originais? A tradução nos oferece a expressão "A Grande Matemática Unificada". É mais provável que Singh quisesse dizer "A Grande Unificação da Matemática". Mas passemos a um outro tipo de problema.

São aqueles relacionados ao texto de Singh. Por exemplo, no Apêndice 8, está escrito "Os seguintes axiomas são tudo que se necessita como base da estrutura elaborada da aritmética: ... " Dos 7 axiomas apresentados não decorre que 0 seja diferente de 1 e o leitor poderá perguntar de onde se deriva esta verdade aritmética.

Sem querer parafrasear Fermat, esta coluna é muito pequena para indicarmos aqui todos as dificuldades de leitura que o leitor desta tradução poderia encontrar.

Apresento apenas mais três tentativas de ajudar o leitor para terminar. Singh escreve: "Criar matemática é uma experiência misteriosa e dolorosa." Parece-me que o doloroso é ler esta frase. O leitor acreditaria que Andrew Wiles e os outros matemáticos criativos sofrem de dores sistemáticas? A segunda: "Efetivamente, os matemáticos têm tentado provar o impossível. " Eu gostaria de ver, nem que fosse apenas um só exemplo, de um "impossível" que algum matemático está tentando provar. É claro que após um período, que pode ser de séculos, é possível que se verifique a falsidade de uma certa conjectura. Mas aí ninguém é louco de continuar tentando demonstrá-la! A terceira: "Para os matemáticos é impensável não ser capaz de responder a cada pergunta, pelo menos em teoria, e esta necessidade é chamada de completeza." Talvez fique melhor traduzir por "completude" o que foi traduzido como "completeza". Agora, seja lá o que for que Singh queira dizer com "pelo menos em teoria", vai ser provavelmente difícil o leitor se convencer de que um matemático seria tão ambicioso ao ponto de pretender responder toda e qualquer pergunta!

Mais uma vez reafirmo que a leitura deste livro de Singh é um grande prazer. Não creio que este prazer seja diminuído pelos tipos de problemas apontados no texto de Sing ou na tradução. Parecem ser situações, na sua grande maioria, de reparação óbvia e não irão interferir na compreensão geral da estória.

Conta-se que Wiles teria dito: "Este problema foi formulado pelos franceses mas foram os ingleses que o resolveram". Verdade ou não, esta afirmação nos remete ao prazer que Fermat aparentemente sentia em criar embaraços aos matemáticos de sua época. Ironicamente, há o arquivo que Serge Lang vem fazendo circular nos meios matemáticos importantes dos Estados Unidos desde 1986 para mostrar que Shimura teria sido profundamente prejudicado pela maneira como os grandes e famosos matemáticos franceses contemporâneos J. -P. Serre e André Weil trataram a questão da origem da conjectura de Taniyama-Shimura. Ela seria muito mais de Shimura do que de Taniyama, e Lang aponta vários indícios de que Serre e Weil teriam contribuído para distanciar injustamente o nome de Shimura da história da conjectura. Weil chegou a colocar a conjectura de Taniyama-Shimura como exercício para o leitor num trabalho seu, de 1967, escrito em alemão. O leitor que quiser embarcar em outra deliciosa aventura intelectual, mas agora com mais intrigas e estórias de traição, pode ler "Fermat’s Last Theorem" de Amir D. Aczel, Delta Trade Paperbacks (livraria Cultura), e "Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture", Notices of the American Mathematical Society, Volume 42, Number 11, November 1995, e é claro, "Taniyama-Shimura File" ambos de Serge Lang.