Mathematik und Statistik braucht (fast) jeder. Wenn das theoretische abgearbeitet ist, muß gerechnet werden. Aber schnell und effektiv. Wer will noch ewig Formeln herleiten und stundenlang rechnen? Niemand. Deshalb gibt es jetzt OR_MAT.

OR_MAT ist ein Mathematik- und Statistikprogramm, das Zeit spart.

Und das ist unser Nettopreis: 30.35 DM für die CD-ROM, mit Buch 62.75 DM.

Von OR_MAT existieren die verschiedensten Runtime-Versionen, wie z. B. WIREX im GABLER-LEXIKON Wirtschaftlichkeitsrechnung, ISBN 3-409-19951-9.

Es ist eine elektronische Publikation aus Text, Grafik, Mathematikprogramm inkl. Arbeitsdateien. Die Inhalte können vom Benutzer frei verarbeitet, vernetzt recherchiert und interaktiv bearbeitet werden.

Sie starten die Basissoftware OR_MAT. Die Multimedia-CD enthält alles für den flinken Bearbeiter:

• Texte, Formeln, Tabellen, Meßreihen, Listen und Funktionsgrafiken für die Anschauung.
• Kommentare, Fußnoten und Abbildungen für das schnelle Begreifen.
• Beispiele mit Rechenergebnissen als Sofortzugang zu den Inhalten.
• Überschreiben von Beispieldaten für die interaktive Lösung des eigenen Problems.

Das alles inkl. der eigenen Ein- und Ausgabedaten kann ausgedruckt und in andere Programme, wie z. B. ein Textverarbeitungsprogramm, kopiert werden.

• für das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen sowie die Berechnung oder Optimierung mathematischer Funktionen inkl. der impliziten Bestimmung oder Näherung von Funktionswerten, wenn keine klassischen Lösungsverfahren verfügbar sind,
• der Differentiation und Integration sowie der Produkt- und Summenbildung,
• statistischer Verfahren, wie z. B. Approximation, Korrelations- und Regressionsanalyse, Fehlerberechnung, Kombinatorik, Interpolation,
• von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie z. B. Poisson-, Normal-, Studentverteilung,
• der Spieltheorie für Entscheidungsprozesse

und Erläuterungen, wie z. B. der Bedienbefehle, der Syntax, der Edition von Formeln. D. h.: Neue Arbeitsdateien können beliebig hinzugefügt werden.

• nach Hauptstichworten, Sachnamen und Kennung der dazugehörigen Formeln,
• im Sachwortregister nach wichtigen Begriffen,
• universell nach Zeichenketten,

und die interaktive Berechnung. Nach Anklicken des Formelschalters erscheint das Arbeitsblatt; das betreffende Formelfenster kann daneben plaziert werden, um zwischen beiden den visuellen Zusammenhang herzustellen. Die Beispieldaten können mit eigenen Werten überschrieben und diese mittels Lösungsaufruf berechnet werden.

Wirtschaftsreichtum: Ein Afrikaner behauptet gegenüber einem Europäer: "Bei unsrer dreimal schneller wachsenden Produktivität (k = 3) haben wir Ihr Land in zehn Jahren eingeholt!" Der Deutsche entgegnet: "Wir sind heute zwanzigmal produktiver (p = 20) als Sie, da vergeht mindestens ein halbes Jahrhundert!" Die Berechnung mittels des Wachstumsexponenten () bestätigt ihn (vgl. Abb. netz_g0):

OR_MAT: k = 3, kappa = 0.03, p = 20, t = ln (p)/(kappa*(k-1))

Abb.: Produktivitätswachstum von zwei unterschiedlichen Ländern

Der Europäer: "Wenn Ihre und unsre Produktivität in Reichtum umgewandelt wird, um wieviel schneller müßte dann Ihre Produktivität wachsen, damit Sie uns in fünfzig Jahren eingeholt haben?

OR_MAT: kappa = 0.03, n = 50, p = 20,

(exp(k*kappa*n)-1)/k == p*(exp(kappa*n)-1),

k > 0, suche(k,3)

k = 3.70

Abb.: Trend der Reichtumsentwicklung in zwei unterschiedlichen Ländern (netz_g1.bmp)

Mathematisches Design oder Wertabschätzung der oberen Grenze für das Integral einer Funktion (ING). Die Drehung einer zwischen der Kurve einer Stammfunktion (y) und der x-Achse liegenden Fläche um die x-Achse ergibt das Volumen. Ein mit dem Anfangspunkt (a) der Kurve vorgegebenes Volumen wird durch den Wert der obere Grenze (b) des Integrals der Funktion bestimmt.

V Volumen eines Hohlkörpers

y Stammfunktion

a Untere Integralgrenze

b Obere Integralgrenze

Die Höhe einer Tonvase (vgl. Abb.) soll aufgrund eines vorgegebenen Volumens und eines festliegenden Radius (a) für die Standfläche die Höhe des Hohlkörpers berechnet werden.

OR_MAT (ohne Plot-Befehle): V = 824.00, a = 5.00, h(var x) := M_PI*(a+x*cos(x))^2,

V == integ(a,b,h(1)), suche(b,1+a)

b = 8.25 cm

Abb.: Kontur eines Tonkruges als rotationssymmetrischer Hohlkörper

Poissonverteilung (POI). In einem Konzern mit fester Personalstärke (n = 6700 Pers.) werden im jährlichen Durchschnitt etwa zwölf Unfälle verzeichnet. Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, daß in einem beliebigen Folgejahr genau acht Unfälle eintreten werden, liefert den Wert P = 6.55 %.

Zusammenhang von Teichtiefe und Fischbeute (KSC)? Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman-Pearson weist aus, ob die Meßwerte für zwei Erscheinungen gegen eine monoton steigende (r ® +1) oder monoton fallende (r ® -1) Kurve streben oder keinen Zusammenhang (r ® 0) besitzen.

An fünf verschiedenen Seen (i = 1, 2, ..., n) mit etwa gleicher Fläche wurde die durchschnittliche Tiefe (x) und der durchschnittliche Jahresertrag (y) an Fischen gemessen (vgl. Meßreihe KSC). Es soll die Rangordnung der Meßwerte (vgl. Tab.) ermittelt und der Zusammenhang geprüft werden, ob man von einer monoton steigenden Kurve zwischen Wassertiefe und Fischertrag ausgehen kann.

Meßreihe KSC

i	x [m]	y [t]
1	24	312
2	75	433
3	20	367
4	12	345
5	58	401

Tabelle: Die Rangordnung der Meßreihe enthält in aufsteigender Ordnung der Einzelwerte beider Reihen die dazugehörigen Indexe und in der letzten Spalte die Differenzen daraus.

i	Rx	Ry	R
1	3	1	2
2	5	5	0
3	2	3	-1
4	1	2	-1
5	4	4	0

Die Lösung läßt einen 70%-tigen monoton steigende Korrelation zwischen beiden Größen vermuten.

Stochastische Optimierung (BFA). Ein Betrieb will die Arbeitsversorgung seiner Mitarbeiter optimal organisieren. Durch Stichproben wurde festgestellt, daß in einer Stunde durchschnittlich zwanzig Mitarbeiter versorgt werden müssen und daß die Versorgung selbst im Mittel fünf Minuten dauert. Die Kosten für einen Arbeitsversorger betragen, unabhängig davon, ob versorgt wird oder nicht, vierundsechzig DM und fünf Pfennig je Stunde. Die Wartekosten für einen Mitarbeiter werden unter Beachtung des Leistungsausfalles mit fünfhundertfünfundachtzig Mark und fünfundvierzig Pfennig veranschlagt. Das Ergebnis lautet: Kostenminimal sind drei Ausgabestellen, die mittlere Wartezeit je Mitarbeiter umfaßt etwas über eine Minute und die Wartewahrscheinlichkeit beträgt knapp dreißig Prozent.

Ein spieltheoretisches Problem (SPIELEN) oder: Welche Spielsysteme sind optimal? Der Trainer des Fußballvereins A hat drei Spielsysteme entwickelt: Verteidigung mit

• Viererkette (A1),
• Libero, zwei Manndeckern und zwei defensiven Mittelfeldspielern (A2),
• Libero, zwei Manndeckern und einem Vorstopper (A3).

Der Trainer des Erstligaklubs B arbeitet mit drei Systemen im Offensivbereich: Angriff mit

• zwei Offensivstürmern und einem hängenden Mittelstürmer (B1),
• einem offensiven Mittelstürmer und drei offensiven Läufern (B2),
• zwei Offensivstürmern und zwei offensiven Außenverteidigern (B3).

Bei der Meldung der Mannschaftsaufstellung zu einem Spiel kennt keiner der Trainer das gegnerische Spielsystem. Die Leitung des Vereins A möchte deswegen wissen, mit welcher Häufigkeit bei Spielen gegen den Verein B die eigenen Spielsysteme anzuwenden wären, um die Erfolgsaussicht zu maximieren. Dafür liegt eine nach Wettkampfstatistik mit den Erfolgschancen bei Heimspielen (vgl. Meßreihe SPIELEN) gegen den Verein B vor:

Meßreihe SPIELEN

	B1	B2	B3
A1	70.00	35.00	50.00
A2	33.33	50.00	40.00
A3	50.00	75.00	85.00

Aus dem Spielmodell ergeben sich Strategien mit optimaler Mischung der Spielsysteme. Der Klub A sollte demnach die Strategie (A2): Spiel mit Libero, zwei Manndeckern und zwei defensiven Läufern, eliminieren und das dritte Spielsystem häufiger als das erste anwenden.

A1 = 42.00 %

A2 = 0.00 %

A3 = 58.00 %

Der Verein B sollte auf dem Platz des Klubs A auf das Spielsystem B3 verzichten und im Verhältnis 2 zu 1 die Spielsysteme (B1, B2) anwenden.

B1 = 67.00 %

B2 = 33.00 %

B3 = 0.00 %

Die Gewinnchancen hängen vom Strategieverhalten der beiden Vereine (vgl. Tab.) ab.

Tabelle: Erfolgschancen (g) des Klubs A bei unterschiedlichem Strategiemix der beiden Klubs

Strategieverhalten	g [%]
A und B optimal	59.65
A optimal, B mit schlechtestem System	72.75
B optimal, A mit schlechtestem System	39.00
A und B mit schlechtestem System	40.00