Objetivo: El estudiante aprenderá a elaborar modelos de ecuaciones diferenciales aplicados a situaciones físicas o biológicas y mediante métodos matemáticos podrá predecir a partir de los modelos el comportamiento del fenómeno estudiado.
Descripción General: El curso comprende aprender a traducir las reglas o patrones que sigue el fenómeno (físico, biológico o social) a su expresión matemática con ecuaciones diferenciales, así como aprender técnicas o métodos para extraer información del modelo matemático que permitan predecir su comportamiento en condiciones dadas.
La forma de trabajo está pensada con la idea de que el estudiante desarrolle las correspondientes habilidades de manipulación, formulación, aplicación de teoremas, interpretación de resultados y elaboración de reportes. Estas habilidades, si bien pueden involucrar la aplicación de un procedimiento establecido en detalle (“receta"), también suponen una suficiente asimilación de conceptos que permita utilizarlos en forma creativa para la solución de un problema. En vista de ello una porción sustancial del trabajo estará dirigida hacia discusiones que permita clarificar conceptos y hacia la solución de problemas que requieran una estrategia no totalmente establecida, esto es, un esfuerzo creativo o inventivo de parte del estudiante.
Para asegurar que el estudiante cuenta con una base conceptual y de manipulación matemática previa necesaria al curso se repasarán en un inicio el concepto de límite, función, derivada e integral. El resto del curso estará dirigido a métodos básicos para resolver las ecuaciones diferenciales más sencillas, y caracterizar sus soluciones, progresando hasta el tratamiento de sistemas de ecuaciones que se utilizan para predecir sistemas más complejos.
1. Repaso de cálculo DIFERENCIAL E integral (si las características del grupo lo permiten esta sección puede omitirse)
1.1. La derivada como razón de cambio y pendiente de la gráfica de una función
1.2. Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos.
1.3. Límite, función y continuidad
1.4. La integral definida
1.5. Aplicaciones: Caída libre, Área y Trabajo
1.6. El Teorema fundamental
1.7. Cambio de variable
1.8. La función logaritmo natural y exponencial
1.9. Técnicas de Integración: integración por partes, integrales trigonométricas y fracciones parciales.
Actividades del Estudiante:
a) Trabajo sobre la derivada como razón de cambio
b) Trabajo sobre la derivada como pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.
c) Tarea sobre máximos y mínimos
d) Tarea: ¿Qué dice el Teorema Fundamental del cálculo?
e) Trabajo sobre la caída de un cuerpo con aceleración uniforme.
f) Ejercicios de Derivación e Integración con función exponencial y logaritmo natural
2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1. Modelación por medio de ecuaciones diferenciales
2.2. Procedimiento analítico: separación de variables
2.3. Procedimiento cualitativo: campos de pendientes
2.4. Técnica numérica: método de Euler
2.5. Existencia y unicidad de las soluciones
2.6. Equilibrios y línea de fase
2.7. Bifurcaciones
2.8. Ecuaciones diferenciales lineales
2.9. Cambio de variables
a) Tarea sobre la creación de un modelo que relacione dos variables
b) Tarea sobre la solución de una ecuación diferencial
c) Tarea sobre la resolución de una ecuación diferencial con tres métodos
d) Tarea sobre búsqueda en la biblioteca o internet sobre el concepto de bifurcación, equilibrio o línea de fase
e) Trabajo sobre la evaluación de un modelo aplicado a una situación real: aprendizaje, crecimiento de una población, enfriamiento o decaimiento radiactivo.
3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
3.1. Modelación por medio de sistemas
3.2. Geometría de sistemas
3.3. Métodos analíticos para sistemas especiales
3.4. Método de Euler para sistemas
Actividades del Estudiante:
Laboratorio que aborde un problema de sistemas.
4. SISTEMAS LINEALES
4.1. Propiedades de sistemas lineales y el principio de linealidad
4.2. Soluciones de línea recta
4.3. Planos fase para sistemas lineales con eigenvalores reales
4.4. Eigenvalores complejos
4.5. Casos especiales: eigenvalores repetidos y cero
4.6. Ecuaciones lineales de segundo orden
4.7. El plano traza-determinante
Actividad:
Ejercicios de representación de plano fase
5. TEMAS SELECTOS:
5.1. Forzamiento y resonancia
5.2. Sistemas no Lineales
5.3. Transformada de Laplace
Actividad:
Ejercicios de modelación y de obtención de transformadas.
Bibliografía:
Si el libro de ecuaciones no se encuentra en la biblioteca se dejarán 1 copia en la tienda de fotocopiado y una en la sección de reserva.
Calculo Integral:
Earl Swokowski.
Cálculo con Geometría Analítica.
Ecuaciones Diferenciales:
Blanchard P, Devaney
R L, Hall G R. 1999. Ecuaciones Diferenciales. International Thomson Editores
Método de Enseñanza:
El curso será teórico en su mayor parte, con exposiciones en clase de los temas, por parte del maestro. Se anima a los estudiantes a hacer preguntas.
En algunas sesiones se puede programar que los alumnos resuelvan ejercicios en clase.
Asesorías : De
preferencia por cita. Horario sugerido: 1-2 pm , ó 4-5 pm.
Evaluación : 3 exámenes parciales (6.33% c/u) y un final (10%)
Tareas (20 %)
Participación y asistencia (20 %)
Trabajos (30 %)
Se exenta la presentación de examen final al obtener 8 como promedio de las demás evaluaciones.
Departamento de
Ingeniería en Pesquerías
Ciencias del Mar
Correo electrónico: ftpoujol@uabcs.mx
Página web: https://www.angelfire.com/sc3/ftpoujol
