Problema 3
La gráfica es un trazo típico de la información arrojada por espirograma. Un espirograma es una gráfica producida por un aparato conocido como espirómetro, estos aparatos se utilizan para medir los volúmenes pulmonares. El trazo se ajusta a la función V(t)= 3 + .05sen(160p t-p /2). En donde t es el tiempo medido en minutos y V(t) es el volumen de los pulmones en litros.
a)¿Cuál es el volumen máximo de los pulmones?
V’(t)= .05cos(160p t-p /2)(160p )
8p cos(160p t-p /2)
Ahora la igualamos a 0
8p cos(160p t- p /2) = 0
cos(160p t- p /2) = 0
¿En que casos es el coseno igual a 0?
Dentro del rango de 0 a p encontramos que son dos valores los que dan a 0 uno de ellos es p /2 y el otro es 3p /2. Así que para que nuestra ecuación de a 0, 160p t - p /2 nos debe de dar ya sea p /2 o 3p /2. Nuestro siguiente paso es igualar 160p t- p /2 tanto a p /2 como a 3p /2.
160p t - p /2 = p /2
160p t = p
160t = 1
t= 1/160
160p t - p /2 = 3p /2
160p t = 2p
160t = 2
t = 2/160
t = 1/80
Ahora para determinar cual de los dos es el punto máximo evaluamos en la función original.
V(1/160) = 3 + .05sen(160p (1/160) - p /2)
3 + .05sen(p - p /2)
3 + .05sen(p /2)
3 + .05(1)
3.05
V(1/80) = 3 + .05sen(160p (1/80) - p /2)
3 + .05sen(2p - p /2)
3 + .05sen(3p /2)
3 + .05(-1)
3 - .05
2.95
El valor de V(t) de 1/160 es mayor que el de 1/80 así que 1/160 es el máximo.
Como V(t) es el volumen expresado en litros V(1/160) es el volumen máximo, el volumen máximo de los pulmones es 3.05 L
b)
El flujo máximo de inspiración es la cantidad de aire que entra en los pulmones por medio de una inspiración forzada.
El flujo medio de inspiración es la cantidad de aire que entra y sale normalmente por los pulmones.
Encontrar una fórmula para la tasa de flujo de aire en los pulmones al tiempo t.
V(t)=3 + .05 sen (160p t - p /2)
Integración
ò 3 dt + .05 ò sen (160 p t - p /2)
ò 3 dt + .05 ò sen (160 p t - p /2)
u = 160 p t - p /2
du = 160 p t dt
du/160 p dt
du/160p = dt Þ 1/160p ò sen u du
[3t - .05/160p cos (160 p t - p /2)]
Esta sería la fórmula para determinar la tasa de flujo
de aire y el resultado dependería del tiempo en que la evaluemos.
c)Encontrar el flujo máximo de inspiración (tasa máxima del flujo de aire durante la inspiración).
En la curva se observa una región de inspiración y otra de respiración. En este inciso se nos pregunta solo sobre el flujo máximo de inspiración por lo que evaluaremos la fórmula de la tasa del flujo aire anteriormente obtenida y la evaluaremos en el tiempo que se nos indica que dura la inspiración.
El tiempo va desde el minuto t = 0 hasta el minuto t = 1/160.
Evaluemos
TFA = 3t - .05/160p cos (160 p t - p /2)
Esto se debe evaluar en
los valores de t
1/160
[3t - .05/160p cos (160p t - p /2)] 0
[3 (1/160) - .05/160p cos (160p (1/160) - p /2] – [3 (0) – 1.5/160p cos (160 p (0) - p /2)]
.01875 – 0 = .01875 lt
este sería el flujo máximo de inspiración
en lt entre los tiempos t = 0 y t = 1/160
d) Encontrar el flujo medio de inspiración (tasa promedio de flujo de aire durante la inspiración).
Para obtener el flujo medio es necesario evaluar en el punto medio de inspiración, es decir, evaluar en t = 0 hasta t = 1/320 (mitad de tiempo de inspiración). La ecuación de tasa de flujo de aire.
Evaluamos
1/320
[3t - .05/160p cos (160 p t - p /2] 0
[3 (1/320) - .05/160p cos (160 p (1/320) - p /2)] – [3 (0) - .05/160p cos (160 (0) - p /2)]
.009275 –0
.009275 lt
Este valor correspondería a la tasa de flujo medio de inspiración que habría en los pulmones
e) Encontrar el volúmen por minuto (cantidad total de aire inspirado en un minuto).
Al principio del problema se nos especifica que la ecuación equivale al volúmen de aire (en litros) en un tiempo indefinido (t), por lo que para obtener el volúmen de aire en un minuto, solo tenemos que sustituir el valor de t por un minuto.
Evaluemos
V(t) = 3 + 0.05 sen (160p (1) - p /2)
V(t) 3 - .05 lt por minuto
Así obtendremos la cantidad total de aire que se inspira en un minuto.
*Tasa de flujo de aire.
