เคยได้ยินมา จริงหรือครับ
0.999999... =1
พิสูจน์ได้ดังนี้
ให้ x=0.999999... ----- A
10x=9.999999.... ----- B
B-A ได้ 9x=9 ดังนั้น x=1 :)
0.999....=0.9+0.09+0.009+0.0009+...
=9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 +...
=9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ...)
1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ... เป็นอนุกรมเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ (1/10)/{1-(1/10)}=1/9
ดังนั้น 0.999....=9(1/9)=1
อืมมมมมม............ผมใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต
a+ar+ar^2+ar^3+... = a/(1-r) ถ้า |r|<1...........(*)
อาจพิสูจน์โดย
ให้ A = a+ar+ar^2+ar^3+...
ดังนั้น rA= ar+ar^2+ar^3+ ar^4...
ทำให้ได้ว่า A-rA =a ดังนั้น A= a/(1-r)
แต่จริงๆแล้ว เราสามารถพิสูจน์(*)โดยวิธีอื่นคือ
ให้ S_n= a+ar+ar^2+ar^3+... +ar^(n-1)
แล้วจะได้ว่า S_n=(a-ar^n)/(1-r)
ดังนั้น a+ar+ar^2+ar^3+...
=lim S_n เมื่อ n---->infinity
=a/(1-r)
ที่จริงการแสดงว่า 0.999...=1 มีอยู่หลายวิธี ทีเลือกวิธีนี้(#7)ก็เพราะมันเป็นวิธีที่เข้าใจง่าย ชัดเจนและ "รัดกุม" วิธีหนึ่ง
ปัญหา 0.999... = 1 หรือไม่ ? นี่ถามกันบ่อยแล้วครับ เขาพิสูจน์กันให้ดูหลายครั้งแล้วว่าเท่ากัน
สำหรับคนที่ยังไม่เชื่อว่าเท่ากัน ก็ลองหาค่าของ 1/3 ดูครับ; 1/3 = 0.333...
ทีนี้ (1/3)*3 = 1 และ
0.333... *3 = 0.999...
เห็นไหมครับว่า 0.999... = 1 ^ ^
0.999... + 0.1 = 0.9 + 0.1 + 0.099... = 1 + 0.099... > 1
0.999... + 0.01 = 0.99 + 0.01 + 0.0099... = 1 + 0.0099... > 1
0.999... + 0.001 = 0.999 + 0.001 + 0.00099... = 1 + 0.00099... > 1
However small fraction we add to 0.999..., we always get a number greater than 1. To me, this implies that the difference between 1 and 0.999... is less than any positive number and definitely it is not negative. Thus, it must be zero. Therefore 0.999... = 1.
from
Reference
