โจทย์มีอยู่ว่า ถ้ามีสมการในรูป A*x^2+Bxy+C*y^2+Dx+Ey+F=0 จงแสดงว่า นี่เป็นสมการ
i) พาราโบลา ถ้า B^2-4AC=0
ii) วงรี ถ้า B^2-4AC<0
iii) ไฮเปอร์โบลา ถ้า B^2-4AC>0
ผมลองคิดหลายรอบแล้ว มันก็ยังไม่ออกซักทีครับ
รูปสมการเหมือนแกนมันเอียง (มีเทอม xy) ดังนั้น ต้องหมุนแกน ให้ตรงกับมุมเอียงของรูปก่อน
สมมุติว่า ในพิกัดฉาก (x', y') ที่เอียงแล้วนั้น เส้นโค้งมีสมการเป็น
ax'^2 + by'^2 + cx' + dy' + e = 0
และพิกัด (x', y') เอียงทำมุม u กับพิกัด (x, y) จะเทียบพิกัดได้ว่า
x' = x cos u + y sin u
y' = -x sin u + y cos u
ดังนั้น จึงแปลงสมการเส้นโค้งในพิกัด (x', y') มาเป็นพิกัด (x, y)
ได้ว่า
(a cos^2 u + b sin^2 u) x^2
+ 2(a - b) sin u cos u xy
+ (a sin^2 u + b cos^2 u) y^2
+ (c cos u - d sin u) x
+ (c sin u + d cos u) y
+ e
= 0
กล่าวคือ
A = a cos^2 u + b sin^2
B = 2(a - b) sin u cos u
C = a sin^2 u + b cos^2 u
B^2 - 4AC
= 4(a - b)^2 sin^2 u cos^2 u
- 4(a cos^2 u + b sin^2 u)(a sin^2 u + b cos^2 u)
= -8ab sin^2 u cos^2 u - 4ab(cos^4 u + sin^4 u)
= -4ab(cos^2 u + sin^2 u)^2
= -4ab
ทีนี้ อาศัยความรู้ที่ว่า ในสมการเส้นโค้ง
ax'^2 + by'^2 + cx' + dy' + e = 0
ถ้า ab > 0 จะเป็นวงรี
ถ้า ab < 0 จะเป็นไฮเพอร์โบลา
ถ้า ab = 0 (คือ a หรือ b เท่ากับ 0) จะเป็นพาราโบลา
(แต่ถ้าเป็นศูนย์ทั้งคู่ก็กลายเป็นเส้นตรง แต่ก็จะทำให้ A, B, C
เป็นศูนย์หมดเช่นกัน)
จึงได้ว่า
B^2 - 4AC < 0 --> วงรี
B^2 - 4AC > 0 --> ไฮเพอร์โบลา
B^2 - 4AC = 0 --> พาราโบลา (A, B, C != 0)
Q.E.D.
ข้อสรุปตอนท้ายเหมือนคุณ จอนสั้น ครับ (หลังจากหมุนแกนแล้ว) อันนี้เป็นการพิสูจน์ของผม ^ ^
