X^X = 5
มีวิธีหาคำตอบโดยใช้วิธีการแก้สมการกันอย่างไรครับ
ใช้ Goal seek ใน EXCEL ครับ คำตอบคือ 2.1293724827601
ผมคิดว่ามันคงจะยากนะครับ ถ้าจะแก้สมการนี้ตรงๆโดยไม่ใช่ Numerical method
ผมขอเสนอแนวคิดหาค่าประมาณคำตอบที่ทำให้มันง่ายขึ้นอีกนิดนึงแล้วกันนะครับ
แทน X ด้วย e^x
(e^x)^(e^x) = 5
Take ln ทั้งสองข้าง จะได้ว่า
e^x * x = ln(5)
เนื่องจาก เรารู้ว่า
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! + ...
ดังนั้น
e^x * x = x + x^2 + x^3/2! + x^4/3! + x^5/4! + x^6/5! + ... = ln(5)
หรือ
-ln(5) + x + x^2 + x^3/2! + x^4/3! + x^5/4! + x^6/5! + ... = 0
การแก้สมการนี้มันยาก เพราะว่ามันจำนวนพจน์เป็นอนันต์ ดังนั้นผมจะประมาณ โดยการเลือกมาถึงแค่พจน์กำลังห้าละกัน
x^5/24 + x^4/6 + x^3/2 + x^2 + x - ln(5) = 0
แก้สมการกำลัง 5 คงไม่ยากเกินไปนะครับ
จะได้คำตอบที่เป็นจำนวนจริงบวกค่าเดียวคือ 0.7563
ดังนั้น X = e^0.7563 = 2.1304
ลองแทนกลับ 2.1304^2.1304 = 5.009
ตามที่คุณ J-a-y แนะนำถูกต้องแล้วครับ โจทย์นี้แทบจะใช้ numerical method แบบธรรมดาไม่ได้เลยเพราะ คำตอบจะ diverge ออกหมด ไม่ค่อย stable การเขียนสูตรในรูป x = g(x) เพื่อใช้ iterative technique ก็ ไม่ work เลยครับ การใช้ goal seek ก็เช่นกันครับ ต้องเลือกค่าเริ่มต้นดี ๆ ที่ใกล้เคียงกับคำตอบจริง ซึ่ง หาได้จากการเลือกแทนค่า x ใน x^x ที่ใกล้ 5 ที่สุดก่อนครับ
ผมถามต่อนิดนึงนะครับ X^X มีค่าต่ำสุดหรือไม่ ถ้ามีจะเกิดที่ X เท่ากับเท่าไหร่?
Let x^x = y
Take natural log on both sides
x ln x = ln y
Take derivative with respect to x
d (x ln x) / dx = (1/y)(dy/dx)
(x/x + ln x)y = dy/dx
x must not be 0
Thus dy/dx = (1 + ln x)(x^x)
(valid for x > 0)
But x^x is not a continuous function when
x is not positive, e.g. we can
calculate x^x at x = -1 but not at x = -1.1
ค่าน้อยที่สุดคือ -1 หรือเปล่าครับ ?
โจทย์หาค่าต่ำสุดนี้ ผมถามกะดูความคิดสองอย่าง อย่างแรก คือ อยากดูว่าดิฟสมการนี้เป็นไหม อย่างที่สองคือ ดิฟเสร็จแล้วเอามาใช้เป็นไหม
อย่างที่คุณ Practical x 2 ทำเอาไว้ถูกต้องแล้วครับ
dy/dx = (1 + ln x)(x^x) ; x>0
ถ้าพิจารณาตามปกติ จุดต่ำสุด(สัมพัทธ์)จะเกิด ณ ตำแหน่ง dy/dx = 0
(1 + ln x)(x^x) = 0
x = 1/e
y = (1/e)^1/e = 0.6922
แต่อย่าลืมว่าเราใช้สมการนี้ได้เฉพาะเมื่อ x > 0 เท่านั้น
ลองพิจารณากรณี x < 0 บ้าง สมมติ x = -a ; a > 0
(-a)^-a = 1/(-a)^a
สมการนี้จะหาค่าได้(เป็นจำนวนจริง)ก็ต่อเมื่อ a เป็นจำนวนจำนวนเต็ม หรือ จำนวนตรรกยะ ที่มีจุดทศนิยมลงท้ายด้วยเลขคู่เท่านั้น (เนื่องจาก เราสามารถเขียนจำนวนตรรกยะในรูป k/10^n และเพราะรูทของจำนวนคู่ ในรูทห้ามติดลบ ดังนั้น k ต้องเป็นจำนวนคู่)
เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ เป็น จำนวนตรรกยะ ที่มีจุดทศนิยมลงท้ายด้วยเลขคู่ 1/(-a)^a จะมีค่าเป็นบวก และจะน้อยลงเรื่อยๆจนมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ a มีค่ามากๆ
เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มคี่ 1/(-a)^a จะมีค่าเป็นลบ และจะมีค่าลบน้อยลงเรื่อยๆจนเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ a มีค่ามากๆ
ดังนั้น ถ้าจะดูค่าต่ำสุดเราต้องพิจารณาที่ a เป็นจำนวนเต็มคี่เท่านั้น ซึ่งค่าต่ำสุดจะอยู่ที่ a = 1 ( หรือ x = -1 นั่นเอง)
(-1)^-1 = 1/(-1) = -1
