ลองดูนะ
lim n->inf [n!/n^n] = lim n->inf [n/n*(n-1)/n*(n-2)/n*...*(n-(n-3))/n*(n-(n-2))/n*1/n)]
= lim n->inf [n/n]* lim n->inf [(n-1)/n]* lim n->inf [(n-2)/n]*...*lim n->inf [(n-(n-3))/n]* lim n->inf [(n-(n-2))/n]*lim n->inf [1/n]
= 1*1*1*...*0*0*0
= 0
จริงๆแล้ว มันก็คือการพิสูจน์ว่า n^n วิ่งเข้าสู่อนันต์เร็วกว่า n! นั่นเองครับ
ผมจะพิสูจน์อีกแบบละกัน แต่ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับ Sterling's formula เพิ่มอีกนิดหน่อยนะครับ
Sterling's formula: เมื่อ n->inf แล้ว n! is about (2*Pi*n)^1/2 n^n e^(-n)
ดังนั้น lim n->inf n!/n^n
= lim n->inf (2*Pi*n)^1/2 n^n e^(-n) / n^n
= lim n->inf (2*Pi*n)^1/2 / e^n
= (2*Pi)^1/2 * lim n->inf n^1/2/ e^n
= (2*Pi)^1/2 * 0
= 0
