อยากขอความกรุณาให้ผู้รู้ช่วยอธิบายเกี่ยวกับ eigenvalue, eigenvector หน่อยค่ะ ว่ามันคืออะไรและเราจะหาค่ามาได้ยังไง
ถ้าใครขี้เกียจอธิบายแต่ทราบเวปที่อธิบายหัวข้อนี้ดีๆ ก็ช่วยแนะนำแค่ชื่อเวปมาก็ได้นะคะ ขอบคุณมากค่ะ
สรุปสั้น ๆ ก็คือ ถ้าคุณมีเมตริกซ์จตุรัส A ขนาด k * k, เวกเตอร์ x (ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์) ขนาด k * 1 ซึ่งต่อไปนี้ จะนิยามเป็น eigenvector, ปริมาณสเกล่าร์ lambda ซึ่งให้นิยามเป็น eigenvalue, และ Identity เมตริกซ์ I ขนาด k * k.
ความสัมพันธ์ของทั้งสี่คือ (A - lambda*I)x = 0
1) เมตริกซ์ A - lambda*I มีคุณสมบัติซิงก์กูล่าร์ (Singular) คือ ไม่มีเมตริกซ์อินเวอร์ส (ดูพิสูจน์จาก textbook)
2) จาก 1) ค่าดีเทอร์มินันต์ของ A - lambda*I = 0 หรือ det(A - lambda*I) = 0
ตัวอย่าง จงหา eigenvalues และ eigenvectors ของเมตริกซ์ A
A = [-5 2; 2 -2]
Eigenvalues
det(A - lambda*I) = |-5-lambda 2; 2 -2-lambda| = (-5-lambda)(-2-lambda) - 4
= lambda2 + 7*lambda + 6 = L.H.S.
เนื่องจาก R.H.S = 0 และ L.H.S. = R.H.S ดังนั้น lambda2 + 7*lambda + 6 = 0
จะได้ lambda1 = -1 และ lambda2 = -6 ซึ่งปริมาณสเกล่าร์ทั้งสองค่าเป็นคำตอบ "eigenvalues ของเมตริกซ์ A"
Eigenvectors
1) สำหรับ lambda1 = -1
[-5 + 1 2; 2 -2+1][x1; x2] = [0; 0]
[-4 2;2 -1][x1; x2] = [0; 0]
หรือ -4*x1 + 2*x2 = 0 และ 2*x1 - x2 = 0
เนื่องจากทั้งสองสมการเป็น linearly dependent ซึ่งกันและกัน เราได้ความสัมพันธ์ x2 = 2*x1 จากทั้งสองสมการ ตัวอย่างเมื่อ x1 = 1, x2 = 2
ดังนั้นตัวอย่างของ eigenvector ที่สัมพันธ์กับ eigenvalue = -1 คือ x = [1, 2]T
2) เช่นเดียวกันกับกรณีแรก เมื่อ lambda2 = -6
ตัวอย่างของ eigenvector ที่สัมพันธ์กับ eigenvalue = -6 คือ x = [2, -1]T
การคำนวณ eigenvalue และ eigenvector มีประโยชน์มากและถูกใช้ในการคำนวณ ทางนิเวศวิทยาโดยใช้ Leslie model เพื่อทำนายการเพิ่มจำนวนประชากร, การคำนวณสมการของชโรดิงเจอร์ (Schrodinger's equation) ในเรื่องกลศาสตร์ควอนตัม, การสั่นของสปริงติดมวล, การวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าของวิศวกรรมไฟฟ้า เป็นต้นครับ
เอกสารอ้างอิงที่น่าสนใจ นอกเหนือจาก math website ทั่วไปแล้ว
Kreyszig, E. 1993. Advanced engineering mathematics, 7th edn. John Wiley & Sons: New York, pp. 157, 386, 634.
