เมื่อ เซรีน่าเป็นมือวางอันดับ 1 ส่วนแทมมารีนเป็นมือวางอันดับ 2
มีเงื่อนไขว่า มือวางอันดับ 1 และ 2 จะชนะผู้เข้าแข่งขันคนอื่นเสมอ และเมื่อมือวางเจอกัน มือวางอันดับ 1 จะชนะมือวางอันดับ 2
-----------------------------------------------------------
ลองคิดดูแล้ว รอบที่ 3 จะเป็นรอบชิงชนะเลิศ แต่จะวาด tree diagram ก็ไม่ไหวค่ะ
ความน่าจะเป็นควรจะเป็น 1/3 ตามแผนภาพด้านล่างครับ วงกลมสีส้มคือการจัดตำแหน่งแบบ permutation จะเห็นว่าการชนะตามสายขึ้นไป ไม่ทำให้จำนวนเหตุการณ์เพิ่มขึ้น เพราะมีการจัดแบบ permutation ในรอบที่ 1 จะกำหนดตำแหน่งคนชนะไว้แล้ว
รายนามผู้เข้าแข่งเทนนิสทั้ง 8 คน
โปรแกรมสร้างแผนภูมิต้นไม้ (Tree diagram) สำหรับการแข่งขันทุกนัด (2,160 matches)
วิธีที่สองคนนี้จะมาเจอกันในรอบชิงก็คือ เซรีน่าอยู่สาย 1 แล้วแทมมารีนอยู่สาย 2 หรือสลับกันอ่ะนะ จะให้เซรีน่ากับแทมมารีนอยู่สาย 1 เหมือนกันหรือสาย 2 เหมือนกันไม่ได้อ่ะนะ
วิธีวางตำแหน่งคนทั้งหมดก็ 8! วิธีที่ทั้งสองคนจะอยู่คนละสายก็พิจารณาจากตำแหน่งของแต่ละคนก่อนนะ พิจารณาตำแหน่งของเซรีน่าวางได้ 8 ตำแหน่ง เมื่อเซรีน่าลงตำแหน่งไปแล้วแทมมารีนจะมีตำแหน่งที่จะลงได้อีก 4 ตำแหน่ง ( ที่จะทำให้อยู่คนละสายกับเซรีน่า ) เมื่อลงตำแหน่งสองคนนี้แล้วก็จะเหลือที่ว่างอีก 6 ที่สำหรับผู้แข่งขันอีก 6 คน เอามาลงตำแหน่งได้ 6! วิธี ดังนั้นวิธีที่ทั้งสองคนจะอยู่คนละสายก็เป็น 8 x 4 x 6! ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจะอยู่คนละสายก็จะเป็น 8 x 4 x 6! / 8! = 4/7
และความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจะเจอกันในรอบชิงกับความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจะอยู่คนละสายก็จะเท่ากันด้วย ( ด้วยเงื่อนไขที่ว่าทั้งสองคนจะชนะผู้แข่งขันคนอื่นที่เหลือทั้งหมด เมื่อทั้งสองคนจะชนะผู้แข่งขันคนอื่นทั้งหมดดังนั้นสาย 1 ผู้แข่งขันที่จะชนะเข้ารอบชิงต้องเป็นเซรีน่า และสาย 2 ต้องเป็นแทมมารีน หรือสลับกัน อย่างแน่นอน )
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจะพบกันในรอบชิง = 4/7 ด้วย
ก่อนอื่น เลือกนักเทนนิสคนใดคนหนึ่ง ระหว่างเซเรน่ากับแทมมารีน ได้ 2 วิธี แล้ววางตำแหน่งคนที่เลือกมา ได้ 4 วิธี อีกคนที่ไม่ได้เลือกก็ได้ 4 วิธี เพราะต้องอยู่คนละสายกัน ถึงจะได้พบกันในรอบชิงฯ ส่วนอีกหกคนที่เหลือ วางได้ 6! วิธี
รวมวิธีในการจัดตำแหน่งให้เซเรน่าเจอกับแทมมารีนในนัดชิงฯ เท่ากับ 2*4*4*6! วิธี
ต่อไป หาวิธีในการจัดวางนักเทนนิสทั้งแปดคน ได้ 8! วิธี
ดังนั้นโอกาสที่เซเรน่าจะเจอกับแทมมารีนในนัดชิงฯ เท่ากับ (2*4*4*6!)/8! = 4/7
ถ้า tammy เจอ serena ในนัดชิงได้แสดงว่าต้องอยู่คนละสาย
4/7
แบบไม่มีเงื่อนไข
เอาเป็นว่าคุณจะบอกว่ามันแบ่งได้ 3 กรณี แล้วความน่าจะเป็นมันจะเป็น 1/3 ในแต่ละกรณีมันก็ไม่ถูกเท่าไหร่อ่ะครับ เพราะว่าความน่าจะเป็นในแต่ละกรณีมันจะไม่เท่ากันอ่ะ
ในกรณี A นั้นจะเห็นว่าวิธีการที่เป็นไปได้มีทั้งสิ้น 32 วิธี ( คือเลือกตำแหน่งให้ serena ได้ 8 วิธี แล้วให้ tamarine ได้ 4 วิธีเพื่อให้อยู่คนละสายกัน รวมแล้ว 8 x 4 = 32 วิธี )
กรณี B นั้นมีวิธีการเป็นไปได้ 8 วิธี ( เลือกคู่ของรอบแรกได้ 4 วิธี แล้วสลับคู่ของ serena และ tamarine ได้อีกสองวิธี รวมแล้ว 4 x 2 = 8 วิธี )
กรณี C นั้นมีวิธีการเป็นไปได้ 16 วิธี ( เลือกตำแหน่งของ serena ได้ 8 วิธี เลือกตำแหน่งของ tamarine ที่เยื้องกับ serana ได้ 2 วิธี รวมแล้วเป็น 8 x 2 = 16 วิธี )
จริงอยู่ที่ว่ามันสลับที่ได้แล้วผลสุดท้ายแล้วเหมือนกัน แต่จำนวนวิธีการสลับที่มันต่างกันอย่างกรณี A จะมีความเป็นไปได้มากกว่ากรณี B ถึง 4 เท่า ( กรณี A เป็นไปได้ 32 วิธี ส่วนกรณี B เป็นไปได้ 8 วิธี ) คำนวณมาแล้วความน่าจะเป็นของกรณี A จะต้องมากกว่าของกรณี B 4 เท่าถ้าคำนวณออกมาแล้วเท่ากันแสดงว่าไม่ถูก ดังนั้นจะคำนวณว่าความน่าจะเป็นของกรณี A เท่ากับของกรณี B และเท่ากับของกรณี C แล้วนำมาหาร 3 ไม่ได้ ถ้าจะคำนวณความน่าจะเป็นก็ไม่ต้องคิดว่ามันสลับ เพราะถ้านับว่าไอ่ที่มันสลับนั้นเป็นคนละตัว จะทำให้ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์เท่ากัน แต่ถ้านับว่าตัวที่สลับนั้นเป็นตัวเดียวกัน จะทำให้ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่เท่ากัน แล้วมันจะคำนวณยาก
สมมุติให้ความน่าจะเป็นของกรณี B เป็น X
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของกรณี A = 4X
และ ความน่าจะเป็นของกรณี C = 2X ถูกไหม จากอัตราส่วนที่คำนวณมานะ
ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A หรือ B หรือ C เท่ากับ 1 ใช่มะ
ดังนั้น 4X + X + 2X = 1 ; X = 1/7
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของกรณี A = 4X = 4/7
แล้วอีกอย่าง การสลับที่ 8 คน 8 ตำแหน่งจะสลับที่ได้ 8! วิธีอ่ะนะ เท่ากับ 40320 วิธีที่มีความน่าจะเป็นเท่าๆกัน แต่ถ้าคิดรวมกรณี A, B, C แล้วจะได้ 720 + 720 + 720 = 2160 วิธี ซึ่งไม่เท่ากันและแต่ละวิธีจะมีความน่าจะเป็นที่ไม่เท่ากันด้วย แต่ถ้าคิดจำนวณวิธีที่เป็นไปได้ในการเกิด A, B และ C ด้วย ก็จะเป็น ( 32 x 720 ) + ( 8 x 720 ) + ( 16 x 720 ) = 40320 วิธี ที่เท่ากับ 8! และมีความน่าจะเป็นเท่าๆกันในแต่ละวิธีด้วยอ่ะนะ
