จงพิสูจน์ว่า limx->0 [x2 - 2 + 2 cos(x)]/x4 = 1/12 โดยไม่ใช่กฎของโลปิตาล หรือ การกระจายอนุกรมเทเลอร์
ก่อนพิสูจน์ขอตรวจสอบด้วย numerical method ก่อนครับ ว่าที่ x เข้าใกล้ 0 จะได้ R.H.S = 1/12 จริง โดย EXCEL, ปรากฏว่าเป็นจริงครับ ลองหาวิธีพิสูจน์กันได้ครับ สงสัยคงต้องใช้ pinching theorem ในกรณี Trigonometric limits มั้งครับ ^ ^
pinching theorem เป็นยังไงเหรอครับ สอนหน่อยสิครับ อยากรู้
ก็ที่เขาพิสูจน์ว่า lim x --> 0 (sin (x) / x) = 1, lim x--> 0 (1 - cos(x))/ x = 0 ไงครับ
อย่าง lim x --> 0 (sec(x) - 1)/(6x^2) ก็จะมีค่่าเท่ากับ 1/12 ครับ
คงต้องหาทางเชื่อมโยงความสัมพันธ์นี้
กับโจทย์ข้างต้นมั้งครับ ?
อ๋อ lim x->0 sin(x)/x = 1 เรียกว่า pinching theorem นี่เอง
ขอบคุณครับ
ถ้าใช้กฎของโลปิตาล มาผสมเข้ากับ pinching theorem จะทำให้ง่ายขึ้นดังนี้ครับ
Y = lim x->0 [x2 - 2 + 2 cos(x)]/x4
= lim x->0 [2x - 2 sin(x)]/4x3
= lim x->0 [2 - 2 cos(x)]/12x2
= lim x->0 [2 sin(x)]/24x
= (1/12)*lim x->0 [sin(x)/x]
From pinching theorem lim x->0 [sin(x)/x] = 1
Thus Y = 1/12
แต่เนื่องจากเงื่อนไขของโจทย์ไม่ให้ใช้ เราอาจต้องพิสูจน์จาก first principle มั้งครับ
A = lim x->0 [x^2 - 2 + 2 cos(x)]/x^4 ==> สมการ (1)
จาก lim x->0 [1-cos(x)]/x^2 = 1/2
ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง จะได้
lim x->0 [cos^2(x)-2*cos(x)+1]/x^4 = 1/4
lim x->0 [-sin^2(x)-2*cos(x)+2]/x^4 = 1/4 จาก (cos^2(x)+sin^2(x)=1) ==> สมการ (2)
เอา สมการ (1)+(2) ได้
A+1/4 = lim x->0 [x^2 - sin^2(x)]/x^4 ==> สมการ (3)
จาก สมการ (1 ) A = lim x->0 [x^2 - 2 + 2 cos(x)]/x^4
A= lim x->0 [x^2 - 2*( 1- cos(x))]/x^4
A = lim x->0 [x^2 - 4*(sin^2(x/2))]/x^4 จาก sin^2(x/2) = (1-cos(x))/2
ให้ x = 2*u จะได้
A = lim 2*u->0 [(2*u)^2 - 4*( sin^2((2*u)/2))]/(2*u)^4
A = lim u->0 [4*u^2 - 4*sin^2(u)]/(16*u^4)
เปลี่ยน u กลับ เป็น x
A = lim x->0 [x^2 sin^2(x)]/(4*x^4)
4*A = lim x->0 [x^2 sin^2(x)]/(x^4) ==> สมการ (4)
จาก ข้างซ้ายของ สมการ (3) กับ (4) เหมือนกัน
จะได้ 4*A = A+1/4
3*A = 1/4
A = 1/12
ดังนั้น lim x->0 [x^2 - 2 + 2 cos(x)]/x^4 = 1/12 ตอบ
โอเค ดูวิธีผมบ้างนะ
lim x->0 [x^2 - 2 + 2 cos(x)]/x^4 สมมติว่าเท่ากับ Y ละกัน
แทน x = 2A ลงในสมการตั้งต้น
[4A^2 - 2 + 2cos(2A)]/16A^4
[4A^2 - 2 + 2(1-2sin^2(A))]/16A^4
[A^2 sin^2(A)]/4A^4
นั่นคือ โจทย์กลายเป็น หา
lim A->0 [A^2 sin^2(A)]/4A^4 (ยังคงเท่ากับ Y) -----(1)
ต่อไป แทน A = 2B ต่อ
[4B^2 sin^2(2B)]/64B^4
[4B^2 - 4sin^2(B) cos^2(B)]/64B^4
[4B^2 - 4sin^2(B) (1-sin^2(B))]/64B^4
[4B^2 - 4sin^2(B) + 4sin^4(B)]/64B^4
[B^2 sin^2(B)]/16B^4 + 1/16*[sin(B)/B]^4
นั่นคือ โจทย์กลายเป็น หา(อีกที)
lim B->0 1/4*[B^2 sin^2(B)]/4B^4 + 1/16*[sin(B)/B]^4 (ซึ่งยังคงมีค่าเท่ากับ Y) -----(2)
จัดรูปอีกนิด
1/4*(lim B->0 [B^2 - sin^2(B)]/4B^4) + 1/16*(limB->0 [sin(B)/B])^4
เนื่องจาก lim B->0 [B^2 - sin^2(B)]/4B^4 = Y (เพราะว่าหน้าตาเหมือน (1) ) และ limB->0 [sin(B)/B] = 1 ดังนั้น (แทนค่าอีกแล้ว)
Y = 1/4*Y + 1/16*(1)^4
Y = 1/12 #####
โจทย์ข้อนี้ไม่ง่ายเลยครับ เพราะต้องใช้หลายทริค ขอบคุณมากครับ ^ ^
อาจใช้สอนนักศึกษาได้ว่า กฎของโลปิตาลมีประโยชน์มากแค่ไหน ด้วยครับ
