ตัวอย่างข้อสอบชั้น ม.ต้น โรงเรียนนานาชาติ Wijayawit
(20 ธ.ค. 46)

1. ให้หา sum ของ 1! + 2! +3! + 4! .... + 100!
ข้อหนึ่งนี่มือแปดด้านเลยครับ

2. เลขสองหลัก เมื่อ
เอา 3 หักออก จะหารด้วย 3 ลงตัว
เอา 4 หักออก จะหารด้วย 4 ลงตัว
เอา 5 หักออก จะหารด้วย 5 ลงตัว

คำตอบคือ 60

แต่ไม่ทราบจะอธิบายอย่างไร
ท่านที่รู้ ขอความกรุณา บอกด้วยครับ
ขอบพระคุณครับ

เราคำนวณข้อ 1 ได้ดังนี้ครับ

100! = 100 x 99!
99! = 1 x 99!
98! = (1/99) x 99! หรือมีค่าประมาณ 0.01 x 99!
97! = (1/99)(1/98) x 99! หรือ ประมาณ 0.0001 x 99!
จากแนวโน้มจะเห็นว่า 1! + 2! + … + 95! + 96! จะมีค่าน้อยกว่า 99! มาก ๆ ดังนั้น
ถ้าให้ A = 1! + 2! + … + 99! + 100! เราจะประมาณค่าของ A ได้ที่ 101 x 99! ครับ # Ans

เพื่อตรวจสอบ เราสามารถใช้ EXCEL คำนวณค่าแท้จริงของ A ออกมาได้ 9.427 x 10¹⁵⁷
ในขณะที่ 101 x 99! มีค่าเท่ากับ 9.426 x 10¹⁵⁷ ครับ ซึ่งห่างกันไม่มาก
ส่วน 1! + 2! + … + 97! + 98! นั้น มีค่าเท่ากับ 9.524 x 10¹⁵³ ครับ ซึ่งถ้าเทียบตาม
Order แล้ว มีค่าน้อยกว่า 101 x 99! ประมาณ 1000 เท่า

สำหรับข้อ 2 อาจอธิบายให้เข้าใจง่าย ๆ ดังนี้ครับ

ใช้สัญลักษณ์แทนคำตอบเป็น N ซึ่งตัวประกอบ เป็นจำนวนเต็มบวกคูณกัน เช่น a x b x c x d x …

เนื่องจาก N – 3 แล้วหารด้วยสามลงตัว แสดงว่าตัวประกอบหนึ่งของ N ต้องมีสามด้วย เราจึงสามารถเขียน ให้อยู่ในรูปของ
N – 3 = 3 x (K1 – 1) เมื่อ 3 x K1 = N

เช่นเดียวกับกรณีที่ลบด้วย 4 แล้วหารด้วย 4 ลงตัว และ กรณีที่ลบด้วย 5 แล้วหารด้วย 5 ลงตัว
N – 4 = 4 x (K2 – 1) เมื่อ 4 x K2 = N
N – 5 = 5 x (K3 – 1) เมื่อ 5 x K3 = N

นั่นคือตัวประกอบของ N ต้องมี 3, 4, และ 5 หรือ N = 3 x 4 x 5 x d x … = 60 x d x …
แต่โจทย์บอกแล้วว่า N เป็นเลข 2 หลัก ดังนั้น d x … ต้องเป็น 1 เท่านั้นจึงจะทำให้เงื่อนไขของโจทย์เป็นจริง
เพราะถ้า d x … เป็น 2, เราก็จะได้ N = 120 แทน ซึ่งไม่ถูกต้อง

ดังนั้นแล้ว N = 60 # Ans