เป็นข้อสอบญี่ปุ่นสำหรับนักศึกษาต่างชาติครับ
(Examination for Japanese University)
ขอลงเป็นรูปนะครับ มีสามข้อที่ผมคิดไม่ออกครับ
ข้อ 1
ข้อสอง
ข้อสามครับ
รบกวนหน่อยนะครับ จะสอบวันอาทิตย์นี้แล้ว
ขอบคุณครับ
คำถามข้อที่หนึ่ง
สำหรับระยะทางระหว่างจุดสองจุด เราคำนวนได้จาก
d = sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) ครับ
ซึ่งในกรณีนี้ x1 = 7, y1 = 0
x2 = x, และ y2 = 0.5(x-1)^2 หรือ
d = sqrt((7-x)^2 + (0.5(x-1)^2)^2)
d = sqrt((7-x)^2 + 0.25(x-1)^4)
ให้ D = d^2 = (7-x)^2 + 0.25(x-1)^4 หาอนุพันธ์ของ D ที่ขึ้นกับ x จะได้ว่า
D' = dD/dx = 2(x-7) + (x-1)^3
D'' = 2 + 3(x-1)^2 ซึ่งเป็นบวกเสมอ เป็นการยืนยันว่าเรากำลังหาค่า minimum
แก้สมการ D' = 0 หาค่า x ออกมาซึ่งมีสามค่าคือ 3, 2.236i, -2.236i
เราใช้เฉพาะค่า x ที่เป็นจริงคือ x = 3 และ y = 2 ส่วนข้อ 2 และ ข้อ 3 ก็ไม่ยากอะไรครับ คุณคงทำได้...
คำถามข้อที่สอง
เราจะเขียนรูปได้ดังนี้ครับ
สิ่งที่ต้องหาคือค่า k = A1/(A2+A1)
พิกัด A คือ (x,x^2)
พิกัด B คือ (x/2, 0)
พิกัด C คือ (x,0)
พิกัด O คือ (0, 0)
พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 1/2*x/2*x^2 = x^3/4...(A3)
พื้นที่ใต้พาราโบลา OCA คือ int(0..x) ของ x^2 dx = x^3/3....(A2 + A3)
พื้นที่ A2 คือ x^3/3 - x^3/4 = x^3/12...(A2)
พื้นที่สามเหลี่ยม OAC คือ 1/2*x*x^2 = x^3/2....(A1 + A2 + A3)
พื้นที่ A1 คือ x^3/2 - x^3/3 = x^3/6...(A1)
ดังนั้น A1 + A2 = 3x^3/12 = x^3/4
และ k = A1/(A1 + A2) = 4/6 = 2/3 ครับ
สำหรับข้อที่สาม
ขั้นแรกคุณต้องเข้าใจก่อนว่าการเลือกในรูปแบบนี้จะอยู่ในรูปอันดับ 3 และ 4 มิติตามลำดับครับ
โดยส่วนที่หนึ่งอยู่ในรูปของ (a,b,c) และ ส่วนที่สองอยู่ในรูป (a,b,c,d) โดย a, b, c, และ d
บ่งบอกครั้งของการเลือก a = ครั้งที่หนึ่ง, b = ครั้งที่สอง, c = ครั้งที่สาม, และ d = ครั้งที่สี่
โดยแต่ละครั้ง สีของลูกบอลที่ออกมาอาจจะเป็น แดง, ขาว, หรือดำ ก็ได้ ดังนั้น
Sample space ของกรณีที่หนึ่งที่ทดลองสามครั้งจึงเป็น 3 x 3 x 3 = 27
Sample space ของกรณีที่สองที่ทดลองสี่ครั้งจึงเป็น 3 x 3 x 3 x 3 = 81
ต่อไปก็คือจำนวนเหตุการณ์ (Event) ที่จะเกิดขึ้น
ในกรณีที่หนึ่ง ที่ตำแหน่ง a อาจจะเป็นลูกบอลสีแดง สีขาว หรือสีดำ ก็ได้ การเลือกเป็นแบบ combinatorial
ดังนั้นวิธีการเลือกของตำแหน่ง a จึงเป็น 3C1 = 3 แต่ที่ตำแหน่ง b ตอนนี้ อาจเป็น
แดง ขาว, แดง ดำ, หรือ ขาว ดำ ก็ได้ เช่นเดียวกับตำแหน่ง a การเลือกยังคงเป็นแบบ combinatorial สำหรับ
ลูกบอล 2 ลูก (ใช่ครับ จำนวนลูกบอลในกล่องยังคงมี 3 ลูก แต่เราต้องพิจารณาเป็น 2 ลูก เพราะตำแหน่ง
a บังคับไว้ให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่โจทย์ต้องการ) หรือ 2C1 = 2, เช่นเดียวกับ
ตำแหน่ง c ซึ่ง วิธีการเลือกคือ 1C1 = 1 เนื่องจากเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้น
independent ซึ่งกันและกัน จำนวน Event คือ 3C1 x 2C1 x 1C1 = 3 x 2 x 1 = 6
และ ความเป็นไปได้ (probability) ก็คือ n(E)/n(S) = 6/27 = 2/9 ครับ
ในกรณีที่สองนั้น มีส่วนที่คล้ายกับกรณีแรก คือยังมี 3C1 x 2C1 x 1C1 อยู่ แต่มีตำแหน่งที่สี่เพิ่มมา
ซึ่งเราไม่สนใจว่าจะเป็นลูกบอกสีอะไร หรือ 3C1 นั่้นเอง และยังสามารถจัดกลุ่ม เอากรณีที่หนึ่งขึ้น
ก่อนลูกบอลที่สี่ หรือหลังลูกบอลที่สี่ก็ได้ การจัดจึงยังมีได้อีก 2C1 แต่เหตุการณ์ทั้งหมดล้วนเป็น
independent event จึงจับคูณกันทั้งหมดได้เป็น 2C1 x 3C1 x 3C1 x 2C1 x 1C1 = 36
หรือ probability คือ n(E)/n(S) = 36/81 = 4/9 ครับ
เพื่อตรวจคำตอบ เราสามารถเขีัยน computer program เพื่อคำนวณวิธีการเลือกให้หมด
พร้อมเงื่อนไขการเลือกครับ ดังข้างล่างนี้ สำหรับแต่ละกรณี platform ที่ผมใช้คือ VBA
(Visual Basic for Application) สำหรับ EXCEL2002
Sub BallOfBoxPart1()
Cells.Clear
N = 0
N1 = 0
For i = 1 To 3
For j = 1 To 3
For k = 1 To 3
N = N + 1
Cells(N, 1) = i
Cells(N, 2) = j
Cells(N, 3) = k
If i <> j And j <> k And i <> k Then
N1 = N1 + 1
End If
Next k
Next j
Next i
Cells(N + 1, 1) = N1
Cells(N + 1, 2) = "Event"
Cells(N + 2, 1) = N
Cells(N + 2, 2) = "Sample Space"
Cells(N + 3, 1) = "'" & N1 & "/" & N
Cells(N + 3, 2) = "Probability"
End Sub
Sub BallOfBoxPart2()
Cells.Clear
N = 0
N1 = 0
For i = 1 To 3
For j = 1 To 3
For k = 1 To 3
For l = 1 To 3
N = N + 1
Cells(N, 1) = i
Cells(N, 2) = j
Cells(N, 3) = k
Cells(N, 4) = l
C1 = False
C2 = False
C3 = False
For m = 1 To 4
If Cells(N, m) = 1 Then C1 = True
If Cells(N, m) = 2 Then C2 = True
If Cells(N, m) = 3 Then C3 = True
Next m
If C1 = True And C2 = True And C3 = True Then N1 = N1 + 1
Next l
Next k
Next j
Next i
Cells(N + 1, 1) = N1
Cells(N + 1, 2) = "Event"
Cells(N + 2, 1) = N
Cells(N + 2, 2) = "Sample Space"
Cells(N + 3, 1) = "'" & N1 & "/" & N
Cells(N + 3, 2) = "Probability"
End Sub
วิธีการเลือกกรณีที่หนึ่ง
วิธีการเลือกกรณีีที่สอง
