ผมไปยืนข้างๆรางรถไฟ..
หันไปทางขวา เห็นรางรถไฟ วิ่งไปตัดกันที่จุดไกลมาก
หันมาทางซ้าย เห็นรางรถไฟ วิ่งไปตัดกันที่จุดไกลมาก
ผมมองรางรถไฟ ก็เห็นมันเป็นเส้นตรงตลอด ทั้งสองเส้นคู่กันนั่นแหล่ะ มองจากซ้ายไปขวา มองจากขวาไปซ้าย ก็ไม่เห็นมันจะมาหักมุมหรือโค้งตรงไหน
แต่ไหงมันมาตัดกันทั้งสองปลายได้หล่ะเนี่ย
และข้าพเจ้าก็ไม่สามารถหาสมการที่ทำให้มัน ไปตัดกันทั้งสองปลายได้
ดังนั้นใครหาสมการนี้ได้ ว่าเส้นไหนมันแอบไปโค้งตรงไหน อย่างไร บนแกนสองมิติ ข้าพเจ้าก็จะดีใจมาก
สาธุ...
เรื่องนี้ให้จักษุแพทย์มาตอบจะดีที่สุดครับ ถ้าใช้ความรู้ฟิสิกส์พื้นฐานมาอธิบายก็คือ ความสามารถในการแยกของสองสิ่งที่วางแยกกันในระนาบเดียวกัน ที่ห่างไปมาก ๆ ที่เรียกเป็นภาษาอังกฤษว่า resolutionนั่นแหละครับ รางรถไฟไม่ได้เข้ามาบรรจบกัน เพียงแต่ว่ามันห่างจากตาเราไปมาก จนตาของคนเราไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างคู่รางรถไฟได้ที่ระยะไกล ๆ
สูตร Resolution (R, หน่วยเป็นเรเดียน) สำหรับ circular aperture (ตัวอย่างก็คือรูรับแสงของตาคนเรา) เป็นดังนี้ครับ R = 1.22L/d เมื่อ L คือความยาวคลื่นแสงที่คนเรามองเห็น (อยู่ในช่วง 400 - 720 nm, คิดค่าเฉลี่ยเป็น 560 nm ก็แล้วกันครับ) และ d คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงตา อยู่ประมาณ 3 - 5 mm ในกรณีนี้ผมใช้ค่าเฉลี่ยคือ 4 mm ครับ
ทีนี้จากรูปวาดเรขาคณิตข้างล่างจะเห็นว่า การที่เราจะเห็นคู่รางรถไฟ (ให้ห่างจากกันประมาณ 1.3 m) กลายเป็นจุด ๆ เดียว จะต้องอยู่ห่างจากตาเราไป เป็นระยะ D = w/R เมื่อ w คือระยะห่างของคู่รางรถไฟ เป็น 1.3 เมตรและ R ตามสูตรด้านบน เราก็จะได้ว่า D = wd/(1.22L) แทนค่าลงสูตรก็จะได้ระยะทางจากตาไปจนถึงจุดที่เรามองเห็นทางรถไฟบรรจบเข้าหากันครับ ผมคำนวณได้ประมาณ 7 - 8 km
เมื่อ R น้อยมาก ๆ : R = w/D
เห็นด้วยกับคุณ Practical ครับถ้าเราวิเคราะห์ตาเราเป็นแบบเลนส์เดี่ยว แต่ในกรณีตาคนจะมีผลจากการมอง 2 ตา(2 เลนส์) ที่วัตถุชิ้นเดียวกันมาร่วมด้วย ทดลองโดยการมองจุดอางอิงไกลๆด้วยตาซ้ายและตาขวาสลับกัน จะเห็นว่าวัตถุมีการสลับตำแหน่งปรากฏให้เห็น นี่ก็เป็นอีกสาเหตุที่การมองของคนเป็นการมองที่มีมิติ การมองรางรถไฟที่ว่า หรือทางเดินที่ยาวๆ ก็เป็นผลจากการมองแบบ perspective ของตาเราด้วยครับ
รางรถไฟมาตรฐานมีระยะห่างระหว่าง running rails ทั้ง 2 เป็น 1.435 เมตร ครับ
พ้มอยากเรียกว่า มุมการมองคับ คือว่า ไม่มีทางที่ผู้สังเกตจะเห็นว่าปลายทางรถไฟที่สมมุติว่าตรงยาวสุดลูกหูลูกตานั้นจะรวมกันจนเป็นจุด ที่ไม่มีขนาด (Point) แต่มันยังคงเป็นจุดที่มีขนาด (Spot) คับ
เราจะเอาอะไรมาเป็นตัวกำหนดว่าแค่ไหนถึงจะเป็นจุด สมมุติว่าเราบอกว่าถ้ามุมการมองน้อยกว่า 1 ฟิลิปดา ถือว่าเป็นจุด ดังนั้น tan 0.5 ฟิลิปดา = ครึ่งนึงของความกว้างรางรถไฟ / ระยะห่าง ใช่หรือเป่าคับ
ไม่รู้เหมือนกันว่าวิธีของ Practical x 2 กับ Waterman ถูก เพราะดูเหมือนว่าจะเป็นคนละแง่มุมในเชิงการวัดแต่ที่ผมคิดมันขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ผู้สังเกตอยู่ด้วย เพราะถ้าระยะ 7-8 กิโลเมตรที่คุณ Practical x 2 คิดน่าจะคิดจากตำแหน่งตาของผู้สังเกตที่อยู่ระดับใกล้เคียงกับรางรถไฟแต่ถ้าหากผู้สังเกตอยู่บนที่สูงอย่างดาดฟ้าตึกสัก 10 ชั้น จุดนั้นน่าจะไกลกว่า 8 กิโลเมตรแน่เป็นความคิดเห็นโดยส่วนตัวครับ
จากความคิดเห็นของคุณ Underdog และ คุณ MR. SJ ผมวาดรูปใหม่ได้ดังนี้ครับ โดยใช้ค่า w = 1.435 เมตรตามคำแนะนำของคุณ Underdog และ คุณ MR. SJ สำหรับการกำหนดตำแหน่งความสูงของสายตาผู้สังเกตสำหรับคำแนะนำของคุณ Waterman นั้น ผู้สังเกตน่าจะเห็นคู่รางรถไฟบรรจบกันเป็นจุดที่มีขนาด (Spot) ครับแต่ผู้สังเกตจะไม่เห็นว่ารางสองรางอยู่แยกกันครับ
ดังนั้นผมขอนิยามสัญลักษณ์แต่ละตัวใหม่ดังนี้ครับ
w คือ ระยะห่างระหว่างรางรถไฟเป็น 1.435 เมตร (คำแนะนำคุณ Underdog)
d คือ เส้นผ่านศูนย์กลางรูรับแสงตาของผู้สังเกต ซึ่งในกรณีนี้ผู้สังเกตลืมตาข้างเดียว เพื่อใช้กรณีของเลนส์เดี่ยว
ได้และละเว้นการคำนวณแบบ perspective (คำแนะนำคุณ M) ซึ่งเราให้มีค่าเป็น 4 มิลลิเมตร
l คือ ค่าเฉลี่ยความยาวคลื่นแสงที่สายตาคนเรามองเห็น ให้มีค่า 560 nm
h คือ ระดับสายตาของผู้สังเกตวัดตั้งฉากขึ้นไปจากรางรถไฟ ให้มีค่า 1.7 m (คำแนะนำคุณ MR. SJ)
L คือ ระยะทางที่ผู้สังเกตเห็นรางรถไฟทั้งคู่บรรจบกันเป็นจุดที่มีขนาด (spot) (คำแนะนำคุณ Waterman)
จากการคำนวณด้วยวิธีเดิมข้างต้น และทฤษฎีพีทากอรัส เราจะได้สูตรนี้ออกมาครับ
ที่น่าสนใจเหมาะกับการถกเถียงต่อไปก็คือ เมื่อเราสร้างตารางเปรียบเทียบระยะ L กับความสูงของผู้สังเกตจะเห็นว่าค่า L ลดลงเรื่อย ๆ ตามระดับความสูงของผู้สังเกตครับ (ในกรณีนี้ยังไม่ได้นำเอาค่าความโค้งของโลกและการหักเหของแสงมาคำนวณด้วย) น่าจะเป็นเพราะเมื่อเราอยู่สูงขึ้นจากพื้นดินมาก ๆ แล้วมองลงมาในแนวดิ่ง ความกว้างของทางรถไฟก็ดูแคบลงด้วย...
แต่ภาพที่เราเห็นจะต่างกันอย่างไร ในกรณียืนอยู่บนรางรถไฟ กับสังเกตอยู่บนตึกสูง ? จากตารางข้างล่างจะเห็นว่า ตำแหน่งที่เราสังเกตเห็นทางรถไฟบรรจบกันบนตึกสูง 10 ชั้น กับกรณีที่ยืนอยู่บนรางรถไฟ แทบไม่ต่างกันเลยครับ
กราฟความสัมพันธ์ระหว่างระยะที่มองเห็นรางรถไฟทั้งคู่บรรจบกันเป็นจุดที่มีขนาด (spot) กับความสูงของผู้สังเกต เป็นดังนี้ครับ
