FRACTALES
As the Time Draws Nigh
AS
the time draws nigh, glooming, a cloud,
A dread beyond, of I know not what, darkens me.
I
shall go forth,
I shall traverse The States awhile--but I cannot tell whether or how long;
Perhaps soon, some day or night while I am singing, my voice will suddenly
cease.
O book, O chants! must all then amount to but this?
Must we barely arrive at this beginning of us?... And yet it is enough, O soul!
O soul! we have positively appear'd--that is enough.
Whitman, Walt. 1900. Leaves of Grass.
INTRODUCCIÓN
La idea generada por los estudiosos de objetos que
no pueden existir según Euclides, resulta sumamente interesante para el
desarrollo de imágenes, pero entender como funciona esta nueva geometría
resulta un reto.
En este documento se explican varios términos
necesarios para comprender en su dimensión real las capacidades y posibilidades
de los FRACTALES.
Partiendo desde la curva de Koch, el conjunto de
Cantor, nos queda claro como se crean los FRACTALES.
Las funciones iteradas o recursivas nos sirven para
crear FRACTALES que llamamos autosemejantes, donde cada parte es una repetición
del original transformado gracias a una composición de funciones, conoceremos
términos como contractiva y atractividad para variar los diferentes sistemas de
funciones iteradas.
Dentro de las aplicaciones de Fractales, podemos
transformar imágenes al ser contraídas con el propósito de ahorrar espacio en
el momento de almacenar dichas imágenes en memoria. Nos sirve para predicción
del tiempo, para ver como pueden crecer ciertas poblaciones de seres vivos y
otras muchas que quizá todavía no hemos visto.
En la parte de bibliografía se anexan varios sitios
interesantes desde el punto de vista matemático y gráfico de la formación de
FRACTALES.
ANTECEDENTES
HISTÓRICOS
Wiener desde su concepto de caos
(movimiento browniano no derivable). Influencia tardía de Jean Perrin
("Les atomes"/1913) donde evoca objetos irregulares de curvas no
derivables. Bachelard "filosofía del no" (curvas no derivables).
Benoit Mandelbrot, a partir de teragonos o polígonos
imposibles y figuras monstruosas como el copo de Von Koch, la curva de Peano,
la alfombra de Serpinsky, construye una geometría fractal o de la naturaleza.
J.E.Hutchinson fue en 1981 el primer matemático que
estudiando las propiedades comunes (compacidad, autosemejanza,...) de los
fractales ya conocidos, elaboró una teoría unificada para la obtención de una
amplia clase de conjuntos fractales: los fractales autosemejantes.
M.F.Barnsley, en 1985, estudió una generalización
del método de J.E.Hutchinson. Mientras que J.E.Hutchinson utilizaba semejanzas
contractivas, M.F.Barnsley utiliza aplicaciones contractivas, lo que le permite
ampliar notablemente la familia de fractales obtenidos. El método de M.F.Barnsley
descubre la posibilidad de encontrar un fractal que se aproxime, tanto como
queramos, a un objeto natural.
M.F.Barnsley utiliza el término fractal para
referirse a cualquier conjunto compacto y no vacío.
El método de M.F.Barnsley para generar conjuntos
fractales, se basa en los sistemas de funciones iteradas (SFI).
DEFINIENDO
LOS FRACTALES
Fractal viene de "fractus":
interrumpido, irregular.
Fractales son
curvas no derivables por ser infinitamente fracturadas.
La
dimensión fractal
La medición de formas fractales (fronteras,
poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá
de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por
elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente
definido: Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad, o con un
instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que
escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a
medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la
línea.
COMO SE FORMAN
LOS FRACTALES
Esto sucede con la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un
tercio su longitud. Es decir la longitud de la curva que ocupa el espacio
inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva
es 4/3 de la anterior:
Así por ejemplo en el caso de la curva poligonal de
nivel 10, la longitud es 1.(4/3)^(10-1):
De esta forma la curva aumentaría indefinidamente su
longitud para un fragmento acotado de curva. ¿Puede esto ser así?.
LONGITUD
FRACTAL
Como la longitud de la linea fractal depende de la
longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de
longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro
concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos
va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción
de plano.
Y que además
sea una generalización de la dimensión euclidea.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo
tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente
con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no
llena toda la porción de plano). Y en los casos del conjunto de Cantor y de la
curva de Koch menor y mayor que uno respectivamente: En el primer caso no llena
todo el segmento de recta, y en el segundo es más largo.
CONJUNTO DE
CANTOR
Sin embargo el caso del conjunto de Cantor es
excepcional y no se puede considerar propiamente un fractal, en general lo que
sucede es que la longitud de la curva fractal es superior al del segmento de
recta que lo genera, y por tanto en general la dimensión fractal será un número
comprendido entre uno y dos.
Como precedente a la dimensión fractal nos
encontramos con la dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919,
perfeccionada más tarde por Besicovitch. La dimensión Hausdorff H(X) de un
objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud L que hacen falta para
cubrir X por L.
La dimensión fractal, D, como veremos es una
generalización de la dimensión euclidea, DE. Si partimos de un segmento de
longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes,
de manera que
N(L).L^1 = 1
cualquiera que sea L:
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1,
y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el
número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple
N(L).L^2 = 1
cualquiera que sea L:
Si, por último, el objeto que tomamos es
tridimensional, como, por ejemplo, un cubo de volumen 1, y lo medimos en
relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que
N(L).L^3 = 1
Cualquiera que sea L:
De todo esto podemos generalizar que la dimensión
fractal de un objeto geométrico es D si
N(L).L^D = 1
donde N(L) es el número de objetos elementales, o de
unidades, de tamaño L que recubren, o que completan, el objeto.
De donde deducimos, despejando D, que
D= log (N(L))/log(1/L)
De aquí podemos deducir las dimensiones del conjunto de Cantor
D= log(2)/log(3) =
0'6309...
La de la curva
de Koch
D = log(4)/log(3) =
1'2618...
Sin embargo se suele aceptar, e incluso definir, que
un objeto es fractal solo cuando su dimensión fractal es mayor que su dimensión
euclidea:
D>DE
Así por ejemplo no se considera fractal el conjunto
de Cantor.
Así, Ia
medida es subjetiva. Entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo
de Euclides hay una nueva zona de orden: la
fractal.
En esos
puntos críticos, aparecen estructuras Fractales que presentan el mismo aspecto
a diferentes escalas (autosemejanza)
Figuras que no tienden a infinito, pero su
longitud entre dos puntos es infinita. No hay diferencia entre objeto y
modelo como en la geometría euclidiana.
SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS (SFI)
Para construir un fractal autosemejante partimos de un número finito de
transformaciones que son semejanzas contractivas.
Una aplicación f : Rn -----> Rn, se llama
contractiva si:
d(f(x) , f(y)) £ r · d(x , y) , " x , y Î Rn
donde r Î [0 , 1) se llama razón de contracción.
Toda aplicación contractiva es continua.
Entre dos figuras semejantes y distintas del plano
euclídeo, siempre existe una aplicación contractiva que transforma la mayor en
la menor. Esta aplicación contractiva es una composición de isometrías
(traslaciones, giros y simetrías) y una homotecia contractiva.
La forma general de la aplicación contractiva es:
F(x , y) = (a
· x + b · y + e , c · x + d · y + f)
Para determinar los coeficientes a, b, c, d, e, f,
se procede a determinar las imágenes de tres puntos y a resolver el
correspondiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas que nos dará sus
valores.
TRANSFORMACIONES
ELEMENTALES DE R2
Cualquier giro, simetría u homotecia se puede
obtener por composición de las siguientes transformaciones elementales:
Traslación de vector (a , b ):
f(x , y) = (x + a , y + b)
Giro de ángulo q y centro el origen:
f(x , y) = (x · cosq - y ·
senq , x · senq + y · cosq)
Simetría respecto del eje de abscisas:
f(x , y) = (x , -y)
Homotecia centrada en el origen de razón K:
f(x , y) = (K · x , K · y)
¿QUÉ ES UN
SFI (sistema de funciones iteradas) ?
Llamaremos sistema de funciones iteradas (SFI) en Rn a cualquier familia
finita {f1 , ... , fN} de aplicaciones contractivas, y
llamaremos razón de contractividad del SFI a r = máx {r1 , ... , rN},
donde cada ri es la razón de contractividad de la correspondiente fi.
¿QUÉ ES UN ATRACTOR DEL SFI?
Sea {f1
, ... , fN} un SFI en Rn de razón de contractividad r.
Entonces
existe un único fractal A Î H(Rn)
/ F(A) = A.
Además, para cualquier fractal B Î H(Rn) se cumple:
limk->¥
FK(B) = A
en el espacio métrico completo (H(Rn) , dH).
Sea {f1 , ... , fN} un SFI
sobre Rn.
Se llama
atractor del SFI al único fractal A que verifica:
F(A) = A
Un método para calcular el atractor asociado a un
SFI consiste en partir de cualquier B Í H(Rn)
e iterar la aplicación F sobre B, calculando {FK(B)}K = 0 , ...
, ¥ . Aplicando el teorema del punto fijo, acotamos la distancia entre el
atractor y la aproximación como sigue:
dH(FK(B)
, A) £ 1 / (1 – r) · dH(FK(B) , FK+1(B))
APROXIMACIÓN
DE IMÁGENES MEDIANTE FRACTALES
Esta aproximación se basa en
el "Teorema del Collage"
(M.F.Barnsley’86).
Sea I Î H(Rn)
una imagen real. Dado e > 0 , sea {f1 , ... , fN} un
SFI con factor de contractividad r /
dH(I , F(I)) £ e.
Entonces:
dH(A , I) £ e / (1 – r)
donde A es el
atractor del SFI.
Se puede observar que la aproximación del atractor a
la imagen es tanto mejor cuanto menor sea el valor del factor de
contractividad, y la aproximación no depende del número de aplicaciones del
SFI.
SISTEMAS DINÁMICOS COMPLEJOS
El
origen de la teoría de sistemas dinámicos complejos data de comienzos del siglo
XX, con los trabajos de los matemáticos franceses Gaston Julia (1893 – 1978) y Pierre
Fatou (1878 - 1929).
Los
trabajos de Julia y Fatou, escritos en 1918 y 1926 respectivamente, no cobraron
valor hasta las últimas décadas del siglo XX, en las que se ha podido observar
la gran importancia y fuerte presencia de los sistemas dinámicos en el mundo real
(predicción del tiempo, dinámica de
poblaciones, ...).
¿QUÉ ES UN
SISTEMA DINÁMICO?
Llamaremos
sistema dinámico al par (X , f) formado por un conjunto no vacío X y una
aplicación f : X -----> X.
Dado
un punto x Î X, llamaremos órbita de x a la sucesión:
{x , f(x), f2(x),
...} Í X
donde
fn es la composición de f consigo misma n veces.
En
un sistema dinámico (X , f), un punto x0 Î X se llama punto fijo si
f(x0) = x0, y se llama punto periódico de periodo n >
1 si fn(x0) = x0 y fi(x0)
¹ x0 para cualquier i Î [1 , n).
Las
órbitas de los puntos periódicos se llaman órbitas periódicas del mismo periodo
que el punto.
El
punto x0 se llama eventualmente periódico de periodo n si no es
periódico y su órbita nos lleva a un punto que sí lo es.
Sea
(X , d) un espacio métrico, (X , f) un sistema dinámico diferenciable y x0
ÎX un punto periódico de periodo n. Entonces el punto periódico x0 y
su órbita se llaman:
Superatractivos
si (fn)’(x0) = 0
Atractivos si
0 < |(fn)’(x0)| < 1
Indiferentes
si |(fn)’(x0)| = 1
Repulsivos si
|(fn)’(x0)| > 1
Intuitivamente,
un punto periódico x0 se llama atractivo si la órbita de los puntos
próximos a él converge a la órbita de x0, y se llama repulsivo si
existen puntos infinitamente próximos a él cuya órbita se aleja de la órbita de
x0.
Los
sistemas dinámicos complejos son los sistemas dinámicos de la forma (C , f) / f : C -----> C.
CONJUNTOS DE
JULIA
Estudiamos
el sistema dinámico complejo cuadrático (C
, fC) / fC(z) = z2 + c , c Î C (c es un
parámetro).
Julia
y Fatou se plantearon el problema de estudiar la órbita de los puntos z Î C en el sistema dinámico (C , fC).
Observaron
que para ciertos valores de c la órbita convergía a un punto fijo de la
aplicación fC, mientras que en otros, la órbita divergía.
Cada
uno de estos dos tipos de puntos constituye una región del plano complejo, y en
medio queda una frontera infinitamente delgada que se conoce con el nombre de
conjunto de Julia, y tiene estructura fractal.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
Para representar
gráficamente el conjunto de Julia para un cierto c Î C dado, lo único que hay que hacer es plantear el sistema dinámico
(C , fC), y estudiar si
la órbita de los z Î C diverge o no.
Para
saber si dicha órbita diverge, buscamos si algún punto de la órbita tiene
módulo mayor o igual que dos, ya que si esto ocurre, hay un teorema de cálculo
complejo que nos dice que la órbita diverge.
Hay
que acotar el número de puntos de la órbita que estudiamos para ver el carácter
de la órbita. Una buena cota práctica puede ser considerar 100 puntos. Si se
toma un número mayor de puntos, la representación del conjunto de Julia será
más exacta, aunque a costa de un mayor tiempo de cálculo.
EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Este conjunto está asociado a los sistemas dinámicos
complejos cuadráticos (C , fC)
/ fC(z) = z2 + c , c Î C.
A la vista de los diferentes conjuntos de Julia que
se van obteniendo al elegir distintos valores del parámetro c Î C, surge la pregunta de si se pueden
clasificar atendiendo a su forma o estructura.
La idea de la clasificación se basa en el hecho de
que para cualquier valor del parámetro c Î C,
el conjunto de Julia asociado, puede ser de los tipos siguientes:
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de puntos c
Î C para los que el conjunto de
Julia asociado al sistema dinámico complejo (C , fC(z) = z2 + c) resulta ser conexo.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
Para representar el conjunto de Mandelbrot, hay que
considerar lo siguiente:
Julia probó que para decidir la conexión del
conjunto de Julia asociado a un sistema dinámico complejo cuadrático (C , fC), para cualquier c Î C, es suficiente estudiar la órbita de
z = 0.
Para decidir si la órbita diverge, basta aplicar el
teorema de cálculo complejo que nos dice que una órbita del sistema dinámico
complejo (C , fC(z) = z2
+ c) diverge si y sólo si algún punto de la órbita tiene módulo mayor o igual a
dos.
Se puede afirmar que si la órbita de un punto
permanece en módulo inferior a dos después de 100 iteraciones, entonces la
órbita ya no diverge.
PROPIEDADES
El conjunto de
Mandelbrot no es un fractal autosemejante, pero tiene la propiedad de que es
posible descubrir en su frontera infinidad de minúsculas copias del propio
conjunto.
El conjunto de Mandelbrot es conexo (demostrado por
J.H.Hubbord y A.Douady).
BIBLIOGRAFIA
Este documento enfatiza el aspecto matemático de la
creación de FRACTALES
URL:http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/fractal/dim_frac.htm
Material muy avanzado con creación de "Nubes Fractales"
http://www.dcc.uchile.cl/~franmuno/Nubes_Fractales/Nube2/
Contiene ligas a varios lugares muy interesantes desde
lo más simple a lo más complejo tanto en FUNCIONES como en IMÁGENES FRACTALES,
de aquí vienen las imágenes fractales de este documento.
http://www.dictionary.com/Dir/World/Espa%f1ol/Ciencia_y_Tecnolog%eda/Matem%e1ticas/Fractales/
Muy explicativo y entendible, contiene un programa
en JAVA para ejecutar FRACTALES (crearlos con diferentes características)
Contiene un JAVASCRIPT de cómo se forman la curva de Koch y el conjunto de
Cantor
http://www.fortunecity.com/skyscraper/corel/284/dao00.html
Sitio interesante para crear una comunidad (no
contiene tanta información)
http://www.colciencias.gov.co/redcom/FRACTALES.html
