Análise combinatória é a parte da matemática que estuda os métodos de contagem.

Fatorial

Se temos um número n (nÎZ₊), n fatorial será:

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ^. ... ^. 3 ^. 2 ^. 1

Obs.:
se n=0 ; 0! = 1
se n=1 ; 1! = 1

Ex.: Calcule o valor da expressão E= 4! * 3! / 6! :

Teremos E = 4! * 3! / 6*5*4!
E = 3! / 6*5
E = 3*2 / 6*5
E = 1/5

Princípio Fundamental da Contagem

Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de p₁ maneiras diferentes, a segunda de p₂ maneiras, a terceira de p₃ maneiras, até p_n, o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é :

T = p₁ × p₂ × p₃ × ...× p_n ×

Permutações Simples

Permutações são os agrupamentos de um determinado número de elementos variando apenas a sua ordem. Ex.:

XYZ, XZY, YXZ, YZX,ZXY, ZYX.

O número de agrupamentos de uma permutação simples de n elementos é dado por n!.

Ex.: De quantas formas podemos agrupar as sete cores do arco-íris?
R: 7! = 5040

Permutações com Elementos Repetidos

Se formos fazer permutações con n elementos, mas existe um elemento repetido 'a' vezes, outro 'b' vezes, outro 'c' vezes, etc, o número de possibilidades de permutações é:

Determine o número de anagramas (combinações de letras formando palavras com ou sem sentido) que podemos formar com PATA. E com MACACA.
R:
P₁= 4!/2! = 12
P₂= 6!/(3!*2!) = 60

Arranjo Simples

Imagine que temos um conjunto de 'n' elementos. O arranjo simples de taxa 'K' é todo agrupamento de 'K' elementos distintos, podendo variar a ordem em que aparecem.

Ex.: A={X,Y,Z}

arranjo de taxa 1: X,Y,Z.
arranjo de taxa 2: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY.
arranjo de taxa 3: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.

O número total de arranjos de 'n' elementos, taxa 'K' é:

Quantos anagramas de três letras podemos formar pelo nosso alfabeto (com 26 letras)?

R: A_26,3 = 26!/23! = 26*25*24 = 15600

Combinações Simples

As combinações são parecidas com os arranjos, mas apenas há a preocupação com a existência do elemento (não com a ordem). Ex.:

Combinações de taxa 1 do conjunto A={A,B,C,D}
A, B, C, D.

Combinações de taxa 2 do conjunto A={A,B,C,D}
AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Combinações de taxa 3 do conjunto A={A,B,C,D}
ABC, ABD, ACD.

Combinações de taxa 4 do conjunto A={A,B,C,D}
ABCD.

A fórmula é:

Ex.: Um jogo possui um cartão com 60 números. Deve-se marcar 6 deles. De quantas forma pode-se fazer isso?

R: C₆₀⁶ = 60!/(6!*54!) = 50063860

Segundo alguns livros, a lógica desenvolveu-se no século XIX. Mas isto não é bem verdade. Todos nós usamos a lógica no dia a dia, às vezes sem nos darmos conta disso. Ex:

Seu pai lhe diz: se você tirar 10 em Física e Matemática, lhe darei um presente. Você sabe que não basta tirar 10 apenas em Física ou apenas em Matemática. Para ganhar o presente, é necessário tirar 10 nas duas disciplinas. Se por outro lado ele dissesse: se você tirar 10 em Física ou Matemática, lhe darei um presente; aí bastaria tirar 10 em uma das matérias.

Esse foi um exemplo simples de um uso da lógica. Muitos outros podeiram ser listados.

O que os matemáticos fizeram foi dar um aspecto matemático à lógica, além de aprimorá-la. Mas a idéia fundamental é antiga. Agora vamos à prática.

Na lógica vamos estudar sentenças declarativas (ou proposições). Essas proposições devem satisfazer a dois princípios fundamentais:

1. Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa;

2. Uma alternativa não pode ser verdadeira e falsa; é lógico

Assim sendo, uma proposição pode ter valor lógico falso (F ou 0) ou verdadeiro (V ou 1)

As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, ...

Vejamos agora alguns símbolos usados na Lógica Matemática:

Vejamos alguns exemplos de proposições com valores lógicos definidos.

p: "2+3=6" (F)
q: "x+3=y®2x=2y-6" (V)
r: "2²=4 Ù 1+1=3" (F)
s: "2²=4 Ú 1+1=3" (V)
t: "x²³0 " X ÎR(reais)" (V)

Operadores Lógicos

Através dos operadores lógicos Ù(conjunção) , Ú(disjunção) , ®(condicional) e «(bi-condicional), podemos combinar as proposições lógicas, formando as proposições compostas pÙq, pÚq, p®q, p«q. Observe que nos exemplos acima houve várias proposições compostas.

Se eu souber o valor lógico de cada uma das proposições p e q, tenho como saber todas as proposições compostas a respeito de p e q. Estas relações estão expressas na tabela abaixo. Chama-se Tabela Verdade.Aí vai a tabela:

Note que podem surgir algumas proposições estranhas a partir da tabela verdade, usando-se os operadores ® e «. Ex:

"2 é menor que 3 se e somente se x < x+1." (V)
"Se 2=3 então a Terra é um planeta." (V)

O que acontece é que esses operadores foram pensados de forma que a primeira proposição fornecesse base para o raciocínio da segunda. Porém, podemos estabelecer p e q como duas proposições sem nenhuma relação.

Tautologia

É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. Ex:

(pÙq) ® (pÚq)
(pÙq) ®p
p® (pÚq)
[pÙ (p®q)] ®q ("modus ponens")
[(p®q) Ù~q] ®~p ("modus tollens")

Contradição

É uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

O próximo passo seria o estudo da álgebra das proposições. Mas isso, eu pretendo fazer sob a análise da álgebra Booleana.