Na geometria Euclidiana, existem figuras que têm dimensão zero. É o caso do ponto. Uma linha tem uma dimensão. Um plano tem duas dimensões. Para descobrir a sua área é necessário multiplicar dois números. Já um bloco, por exemplo, tem três dimensões, e para descobrir o seu volume é necessário multiplicar três números.
Euclides estava certo, mas a sua geometria não é suficiente. Existe uma infinidade de fenômenos da natureza que graças à sua irregularidade não podem ser descritos pela geometria euclidiana.
Existem objetos que não podem ser descritos por uma reta. É como se uma reta fosse esburacada inúmeras vezes. Depois de repetir o processo um número infinito de vezes sobraria o que se chama de "Poeira de Cantor", idealizada pelo matemático alemão Georg Cantor. Essa "poeira" seria uma dimensão intermediária, entre o ponto e a reta. Existem ainda dimensões entre a reta e o plano e entre o plano e o sólido.
Outra característica dos fractais é que o objeto é auto semelhante, ou seja, suas partes se parecem muito entre si e representam o todo. Um exemplo de um fractal é a " curva de floco de neve " construída pegando um triângulo eqüilátero e construíndo triângulos eqüiláteros menores repetidamente erguendo no terço mediano dos lados menores (ver figura). Teoricamente, o resultado seria uma figura de área finita mas com um perímetro de duração infinita, consistindo em um número infinito de vertices. A " curva de floco de neve " tem uma dimensão de 1.2618.
Atualmente a geometria fractal já tem aplicações na área da computação, como a criação de belas imagens através de programas específicos e a compressão de vídeos.
Não deixe de dar uma olhada na galeria de fractais .
Começo esta introdução ao caos com uma breve definição (que não é minha):
Caos - Comportamento estocástico que ocorre num sistema determinístico.
O determinismo encara o universo como um relógio, expressão utilizada para representar a confiabilidade de um sistema mecânico (embora hoje predominem os relógios digitais). É perfeitamente retratado nas palavras de Pierre Simon de Laplace (um dos maiores matemáticos do século XVIII) em seu Ensaio Filosófico sobre as Probabilidades:
"Um intelecto que, num momento dado qualquer, conhecesse todas as forças que animam a natureza e as posições mútuas dos seres que a compõem, se esse intelecto fosse vasto o suficiente para submeter seus dados a análise, seria capaz de condensar numa única fórmula o movimento dos maiores corpos do universo e o do menor dos átomos: para tal intelecto nada poderia ser incerto; e tanto o futuro quanto o passado estariam presente diante de seus olhos."
Estocástico é o mesmo que aleatório, randômico, de comportamento imprevisto.
A definição parece um paradoxo: o comportamento determinístico é governado por leis exatas; o comportamento estocástico é governado pelo acaso.
É interessante apresentar o exemplo de Hipérion (uma lua de Saturno). Seu comportamento é fora do comum: sua órbita é regular, mas Hipérion dá cambalhotas, num padrão complexo e irregular. Mesmo assim, as acrobacias de Hipérion obedecem às leis da gravidade e da dinâmica. Os astrônomos previram o comportamento futuro do Sistema Solar por 200 milhões de anos, mas não poderiam fazer uma previsão precisa para o movimento de Hipérion para daqui a alguns meses. O erro seria devido à capacidade das equações, mesmo simples, de gerar movimento tão complexo que parece aleatório. A isso chamamos caos.
Há uma forma interessante de se demonstrar como o caos pode surgir num sistema determinístico com o uso de uma calculadora.
Escolha um número entre 0 e 1. Aperte o botão "x2" (se a sua calculadora não tiver esse botão, aperte "x" e "=" que terá o mesmo efeito). Repita a operação outras vezes. Depois de um determinado número de repetições do processo, você vai chegar ao zero. A partir daí, não ocorrem mais mudanças. A isto se chama iteração, a repetição indefinida da mesma coisa. Tente com o botão "cos". Se você apertar o botão cerca de 50 vezes, o número 0,739085133 se instala na calculadora. Ou seja, a iteração converge para um estado de equilíbrio. O botão raiz quadrada converge para 1. O botão 1/x cria uma iteração periódica de período 2 (alterna entre dois números). Agora simule o botão x2-1 (aperte "x2" e "-1"). Escolha um número entre 0 e 1 e repita a operação várias vezes. Logo você descobrirá um movimento cíclico entre 0 e -1.
Agora vamos tentar com 2x2-1. Não esperamos que nada de especial vá acontecer. No entanto, não aparece nada parecido com um padrão. Parece caótico. Os resultados parecem aleatórios.
Escrevi um pequeno programa em basic que executa a equação kx2 - 1, onde x vale 0.666 (poderia ser qualquer número entre 0 e 1).
Copie estas instruções para o qbasic (que você poderá encontrar no diretório c:\dos). Então execute (tecla "F5") o programa. Primeiro, o programa vai pedir um valor para k. Escreva um número maior que zero e até dois. Quando você apertar "enter" vai surgir uma série de números na tela. Aperte "pause" e procure um padrão. 10 PRINT "Este programa vai iterar a equação k * x^2 - 1, onde x=0.666" 20 PRINT "Digite abaixo o valor desejado para k" 30 INPUT k 35 IF k > 2 OR k < -2 THEN GOTO 10 40 x = .666 50 FOR a = 1 TO 2 60 IF INKEY$ = "" THEN 70 GOTO 110 80 ELSE 90 GOTO 170 100 END IF 110 y = x 120 x = k * y * y - 1 130 PRINT x 140 a = b 150 a = b + 1 160 NEXT a 170 END
Executei este programa várias vezes escolhendo vários valores para k. Com k até 0.451, o os números convergiram para um valor fixo. A partir de 0.452 até 1.185 o período passou a ser dois, ou seja, os valores alternavam entre dois números. De k=1.186 a 1.352 o período era quatro. Por volta de k=1.5, estabelece-se o caos. Depois disso, quanto maior k, mais caóticas as coisas se tornarão. (Parece-me que, na verdade, os períodos se tornam tão grandes que fica dicícil encontrar um padrão).
Um detalhe interessante: em k=1.74, você verá caos absoluto. Em k=1.75, ele se fixa num ciclo de período 3, com números números por volta de -0.03127, -0.99828 e 0,74401. Do caos, emerge um padrão! Estimulante, não?
Com os exemplo da calculadora e do meu programa, vimos como a ordem e o caos estão próximos e como um comportamento praticamente imprevisível pode surgir de uma simples equação como kx2 - 1.
Na próxima atualização, mais artigos sobre o caos.
volta