هذا سؤال جيد جدا

في أحد الفصول الدراسية دار حوار بين المعلمة وطلابها ، توصلوا من خلال المناقشة والحوار البناء إلى استراتيجيات مختلفة لحل مسألة من الدرجة الأولى في متغير واحد وهي:

دار حوار بين المعلمة والطلاب عن حل المعادلة 2 (س+5)-(س-4)=5س-19 فاستفسر أحد الطلاب عن معنى كلمة"حل المعادلة" ، فأجابت المعلمة : "يقصد بحل المعادلة هو إيجاد قيم المتغير التي تجعل الطرف الأيمن مساويا للطرف الأيسر".

سلك أحد الطلاب استراتيجية "المحاولة والخطأ العشوائي"، فخمن قيما للمتغير س، وهذه القيم هي 6، 10 ثم تأكد من صحة إجابته وذلك بتعويض هذه القيم في المعادلة ؛ لكنه لاحظ أن الطرف الأيمن لا يساوي الطرف الأيسر. فرد عليه أحد الطلاب حينها :"الرياضيات تفكير وليس تخمين" ؛ لكن المعلمة قاطعته قائلة:"إنني لا أوافقك الرأي فالتخمين في الرياضيات ممتاز إذا تبعه التفكير المنطقي السليم، فإذا فكرت جيدا يمكنك أن تستعين بتخمين زميلك لإيجاد الحل الصحيح".

هنا تكلم أحد الطلبة بأنه قد وجد حلا للمعادلة لأنه أخذ بعض الدروس البسيطة في الهندسة في الرياضيات ، إذ أنه عندما شاهد المعادلة لم يفكر بالأعداد وإنما تراءى في أنظاره المستطيلات ، وكان ملخص فكرته الآتي:

ويتضح جليا أن س+5 أكبر من س-4 بمقدار 9 ، لذا يمكن تقسيم المستطيل

5س- 19 إلى مستطيلين طول الأول =9، وطول الثاني يساوي 5س-28 ،

أبدى طالب آخر فكرة جديدة لحل المعادلة باستخدام "استراتيجية المحاولة والخطأ المنظم" ، حيث استفاد من تخمينات زميله الأول لقيم س عندما خمن أن س=6، س=10، فعندما عوض عن قيمة س عندما تساوي 6 وجد أن الطرف الأيمن =11، والأيسر =20 ، أما عندما عوض عن قيمة س عندما تساوي 10 فقد وجد أن الطرف الأيمن =31، والأيسر=24، فلاحظ أن الفرق بين الطرفين في المحاولة الأولى =9، والثانية=7، وبالتالي فالافتراض الثاني يكون أقرب إلى الحل الصحيح، ثم افترض قيمة وسطى بين التخمينين وهي س=8، وكون الجدول التالي:

الفرق بين الطرفين	الطرف الأيمن	الطرف الأيسر	س
9	11	20	6
1	21	22	8
7-	31	24	10

من خلال الجدول لاحظ الطالب أنه عندما تزيد س بمقدار 2 ، يقل الفرق بين الطرفين بمقدار 8، لذا عندما س=8، يكون مقدار التغير =1، وبالتالي لا بد أن يقل مقدار التغير بمعدل 1 حتى يكون الفرق مساويا للصفر وبالتالي نحصل على قيمة س الصحيحة.

أي أن مقدار التغير في الفرق بين الطرفين لا بد أن يكون ص=2/8=1/4 =0,25 .

في خضم المناقشات والحوار الذي جرى بين الطلاب طرحت المعلمة طريقة أخرى للحل باسم "الفالفا الصينية " .ففي المعادلة الأصلية

2(س+5)-(س-4)=5س-19،عوضت عن قيمة (س+5) بقيمة ص ،وبالتالي تحل (ص-5) محل كل قيم س في المعادلة لتنتج معادلة جديدة هي:

2ص-(ص-9)=5ص-44،ثم عوضت عن قيمة (ص-9) بقيمة ع وبالتالي تحل (ع+9) محل كل قيم ص في المعادلة لتنتج معادلة أخرى جديدة هي:

الطالب السادس استفاد من موقع في الإنترنت في حل هذه المسألة حيث قام بإنزال برنامج يسمى "graphmatica "طلب منه رسم المعادلة :

ص=2(س+5)-(س-4)-(5س-19)، ومن الرسم لاحظ أن الخط المستقيم يتقاطع مع المحور السيني بين 5 و 10،وبرسم صورة تكبيرية نلاحظ أن الخط المستقيم يتقاطع مع المحور السيني عند س=8.25.

طالب أخر أضاف طريقة أخرى لحل المعادلة وذلك بتبسيط المعادلة الأصلية عن طريق الجمع والطرح لكلا الطرفين :

قال أحدهم أنه توجد طريقة لحل جميع المعادلات وذلك عندما نضع جميع المتغيرات والقيم في طرف والطرف الأخر يساوي صفر ثم نأخذ تخمينين خاطئين يعطي التخمين الأول لقيمة س عند التعويض في المعادلة قيمة كبيرة جدا والتخمين الثاني يعطي قيمة صغيرة جدا ثم نأخذ القيمة الوسطى بينهما و تستمر هذه العملية حتى نحصل على الحل .

نأخذالتخمينين للطالب الأول وهما س=6 و س=10 ونعوض في المعادلة نلاحظ أن د(6)=9 و د(10)=-7 ، نلاحظ أن د(6) قيمة كبيرة جدا و د(10) قيمة صغيرة جدا وبالتالي نأخذ القيمة الوسطى بينهما وهي س=8، ونلاحظ أن د(8)=1 ،ومن هذا نلاحظ أن د(8)قيمة كبيرة و د(10)قيمة صغيرة لذلك نأخذ القيمة الوسطى بينهما وتستمر هذه العملية حتى نحصل على الحل ويمكن استخدام الكمبيوتر للحصول على القيم الوسطية.

نستفيد منه كمعلمين رياضيات بأن هذا الموضوع يشمل عدة طرق لحل المعادلة من الدرجة الأولى في متغير واحد وبما انه يوجد فروق فردية بين الطلاب لذلك تختلف المستويات في الفهم لدى الطلاب لذا لابد من استخدام مجموعة طرق لحل المعادلة حتى يتمكن الطالب من استيعاب الدرس وذلك لأن بعض الطرق تكون مفهومة عند طلاب وطرق أخرى مفهومة عند طلاب آخرين لذلك يتمكن المعلم من توصيل المعلومة إلى شريحة اكبر من الطلاب .

أيضا نستفيد منه كمعلمين للرياضيات في تشجيع الطلبة على الحوار والبحث والمناقشة وعدم تقبلهم للحقائق والمعلومات دون فهم فطريقة الاكتشاف تنمي لدى الطلبة الثقة والاعتماد على النفس في حل المشكلات الرياضية وتنمي أيضا روح المنافسة الشريفة بين الطلاب التي من شأنها أن ترفع مستوياتهم التحصيلية .