Diseño clásico de
un sistema de control por
retroalimentación
Antes de abordar el estudio
de las técnicas de lugar le raíz y respuesta en frecuencia, se deben definir
algunos términos importantes para tal estudio; con este objeto se considera el
diagrama de bloques general de un circuito cerrado que se muestra en la figura
1. Las funciones de transferencia de
circuito cerrado son:
Figura 1. Diagrama general de circuito cerrado.
la ecuación característica es
1+H(s)Gc(s)Gv(s)GP1(s)
= 0 (3)
La función de transferencia de
circuito abierto (FTCA) (OLTF por sus siglas en inglés se define como el
producto de todas las funciones de transferencia del circuito de control.
FTCA = H(s)Gc(s)Gv(s)Gp1(s)
(4)
Y, por tanto, la ecuación
característica se puede escribir también como
1 + FTCA = 0 (5)
Ahora se supone
que las funciones de transferencia individuales se conocen y que la FTCA tiene
la forma siguiente:
donde K=KCKVKp1KT
Se define como polos a las
raíces del denominador de la FTCA; en este caso los polos son -1/tT, -1/t1 y -1/t2. Los ceros
se definen como las raíces del numerador de la FTCA; en este caso -1/tD .
Para generalizar dichas definiciones la FTCA se escribe como sigue
donde
De la ecuación 6, se observa
inmediatamente que los polos son iguales a -1/tj, para j desde 1 hasta n; de manera
semejante, los ceros se expresan con -1/ti, para i desde 1 hasta m y a s = 0. Estas definiciones se utilizan
frecuentemente en el estudio de las técnicas de lugar de raíz y respuesta en
frecuencia.
El lugar de raíz es una
técnica gráfica que consiste en graficar las raíces de la ecuación
característica, esto es, los valores eigen, cuando una ganancia o cualquier
otro a de los parámetros del circuito de control cambia. En la gráfica que
resulta se puede apreciar de un vistazo si alguna raíz de la ecuación
característica cruza el eje imaginario del lado izquierdo del plano s al lado
derecho, lo cual sería indicación de alguna posibilidad de inestabilidad en el
circuito de control.
A continuación se
presentan varios ejemplos de la manera en que se puede dibujar el lugar de
raíz; posteriormente, con base en estos ejemplos, se darán las reglas generales
para la graficación. Con estos ejemplos se logra que se entiendan mejor los
efectos de los diferentes parámetros del circuito de control sobre la
estabilidad del mismo.
Ejemplos
Ejemplo
1. En
el diagrama de bloques de un determinado circuito de control como el que se
muestra en la figura 2, se tiene la siguiente ecuación característica para el
sistema
por lo tanto:
Se notará que ci esta FTCA existen dos polos, -1/3 y -1, y que no hay
ceros. A partir de la ecuación 7 se
obtiene el siguiente polinomio en s
3s2 + 4s + (1 + Kc)
= 0 (8)
Puesto que este polinomio es de segundo orden, tiene dos raíces. Se utiliza la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas, obtener las raíces. y se desarrolla la siguiente
expresión:
Figura 3. Diagrama del lugar
de la raíz para el sistema de la figura 2.
En la ecuación 9 se observa que las raíces de la ecuación característica
dependen del valor de Kc, lo cual equivale a decir que la
estabilidad del circuito de control depende del ajuste del controlador por
retroalimentación. Los lugares de las
raíces se determinan mediante la asignación de valores a Kc; en la
figura 3 se muestra la gráfica de las raíces o lugar de raíz, de la cual, al
examinarla, se pueden aprender varias cosas:
1. El punto más importante es que este circuito de control particular nunca sc vuelve inestable, no importa qué tan grande se haga el valor de Kc. Conforme se incrementa el valor de Kc, la respuesta del circuito se hace más oscilatoria o subamortiguada, pero jamás inestable. La respuesta subamortiguada se reconoce porque las raíces de la ecuación característica se alejan del eje real conforme se incrementa Kc.
2. Cuando Kc = 0, los lugares de raíz se originan en los polos de la FTCA: -1/3 y -1.
2.
La cantidad de lugares
de raíz o ramas es igual al número de polos de la FTCA, n = 2.
3.
Conforme se incrementa Kc, los lugares de raíz tienden a infinito.
EjempIo 2.
Si ahora se supone que la combinación de sensor-transmisor en el ejemplo
anterior tiene una constante de tiempo de 0.5 unidades de tiempo, el diagrama
de bloques es el que se muestra en la figura 4, y la nueva ecuación
característica y función de transferencia de circuito abierto son
1.5s3 +
5s2 + 4.5s + (1 + Kc) = 0
Figura 4. Diagrama de bloques del circuito de control
del ejemplo 2.
En este caso la
ecuación característica es un polinomio de tercer orden y, por lo tanto, el
cálculo de las raíces no es directo, se debe utilizar el método de Newton, sin
embargo, como se verá, existe un método más fácil para trazar el lugar de raíz
sin necesidad de calcular ninguna raíz.
Figura 5. Diagrama del lugar de raíz para
el sistema de la figura 4.
En la figura 5 se muestra el
diagrama de lugar de raíz y, nuevamente, se pueden aprender varias cosas de la
simple observación de éste.
Ejemplo 3. Ahora se supone que en el circuito de control
original, ejemplo 1 se utiliza un controlador proporcional-derivativo. En la
figura 6 se muestra el diagrama de bloques; la nueva ecuación característica y
la función de transferencia de circuito abierto son de la forma siguiente:
Ecuación Característica
3s2 + (4 + 0.2 KC)s
+ (1 + KC) = 0
Figura 6. Diagrama de bloques del circuito
de control del ejemplo 3.
Puesto que la
ecuación característica es de segundo orden, sus raíces se determinan mediante
la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
Figura 7. Diagrama del lugar de las raíces
del sistema de la figura 6.
Al darle valores a KC,
es posible obtener el lugar de raíz para este sistema como se muestra en la
figura 7.
Al igual que en los otros ejemplos, se pueden
aprender varias cosas de este diagrama:
1.
Este
circuito de control nunca se hace inestable, aún más, conforme se incrementa KC,
los lugares de raíz se alejan del eje imaginario y el circuito de control se
vuelve más estable. En efecto, con la
acción derivativa se adiciona un término de adelanto al circuito de
control. Mediante la adición de
cualquier término de adelanto (avance) se “añade” estabilidad a los circuitos
de control; con la adición de un término de retardo se “remueve” la estabilidad
de los sistemas de control, corno se vio en el ejemplo 2.
2.
Los lugares
de raíz tienen su origen en los polos de la FTCA: -1/3 y -1, lo cual es similar
en los ejemplos anteriores.
3.
La cantidad
de lugares de raíz es igual al numero de polos dc la FTCA, n = 2. Este es también el caso en los ejemplos
anteriores.
4.
Conforme se
incrementa KC uno de los lugares de raíz se aproxima al cero de la
FTCA, -5. y los otros se aproximan a menos infinito.
[DIAGRAMAS DEL LUGAR DE LA RAÍZ][CIRCUITO OSCILADOR][FILTROS
ACTIVOS]
[PRINCIPIO DE
FUNCIONAMIENTO DEL PLL][PLL DEMODULADOR DE FM]
