DETERMINACIÓN DE LAS LÍNEAS DEL CAMPO MAGNÉTICO DE LA ONDA TM Se pide determinar la ecuación de las líneas de campo magnético para las ondas TM, considerando que la densidad del campo eléctrico
En la figura se muestra una línea de campo eléctrico.
dr y E son dos vectores paralelos y son tangentes a la línea de campo.
La ecuación diferencial de la línea de campo es la siguiente expresión:
dr x H = 0 (1-A)
En un sistema de coordenadas curvilíneas:
dr = e1 h1 du1 + e2 h2 du2 + e3 h3 du3
H = e1H1 + e2H2 + e3H3
Entonces, resolviendo la ecuación (1):
dr x H = e1 ( h2 du2 H3 - h3 du3 H2 ) - e2 ( h1 du1 H3 - h3 du3 H1 ) + e3 ( h1 du1 H2 - h2 du2 H1 ) = 0
recordando que
0 es el vector nulo, entonces, de esta ecuación se deduce lo siguiente:
h2 du2 H3 = h3 du3 H2; h1 du1 H3 = h3 du3 H1; h1 du1 H2 = h2 du2 H1
por lo tanto:
extrapolando esta conclusión al sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, donde
h1 = h2 = 1 y, du1 = x y du2 = y:
(1-B)
La función que describe al campo magnético de la onda TM es la siguiente:
(2)
De la ecuación (1-B):
multiplicando esta ecuación por
(n/b)/(m/a):
haciendo:
integrando ambos miembros de la igualdad:
-ln[sen(e )] = ln[sen(h )] + p'
donde p' es una constante que resulta de la suma de las dos constantes de integración de los dos miembros de la igualdad. Haciendo
p' = -ln[p]:
(3)
La determinación de la constante p se hace de tal manera que entre dos líneas de campo magnético fluya la misma cantidad del flujo magnético y .
Determinación de un nuevo sistema de coordenadas rectangulares
x' = x - a/2m
multiplicando esta ecuación por
mp /a:
(a)
y' = y - a/2m
multiplicando esta ecuación por
np /b:
(b)
Sea:
(c)
entonces:
(4-A)
de la misma forma:
(d)
entonces:
(4-B)
para la determinación de las líneas del campo eléctrico de la onda TE, se llego a la siguiente expresión para la constante p:
(c)
por otro lado, se ha determinado que para las líneas del campo magnético de la onda TM, la expresión de la constante de integración viene dada por la ecuación (3):
(3)
Las ecuaciones (4-A) y (4-B), lleva a la ecuación (3) a una forma análoga de la ecuación (c):
(5)
La función que describe la forma del campo eléctrico de la onda TM, de la guía de onda rectangular, es la siguiente:
(6)
El flujo eléctrico de define mediante la siguiente ecuación:
y
= ò ò F D·dF
La componente del flujo eléctrico en la dirección de propagación es:
y
= ò ò DZ(x', y')dx'dy' (7)
Sea y (xo') el flujo inicial de campo eléctrico a través de la superficie marcada en la figura:
y
(xo') = ò ò F D·dF
La componente del flujo eléctrico en la dirección de propagación es:
y(
xo') = ò ò DZ(x', y')dx'dy' (7)
De la ecuación (6) se tiene la componente del campo eléctrico en la dirección de propagación con Čmn = 1:
tomando en cuenta sólo la parte imaginaria:
De la electrostática, se tiene que la densidad del campo eléctrico viene dada por la siguiente expresión:
D = x E
Por lo tanto, con
Ěz se obtiene la componente en la dirección de propagación de la onda:
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (7):
(9)
Con las ecuaciones (a) y (b), la expresión (9) puede ser escrita de la manera siguiente:
con las ecuaciones (c) y (d):
(11)
Realizando un cálculo análogo con el hecho para la determinación del flujo magnético de la onda TE:
Con
e
0' = (mp ¤ a)x0 (c)h
'(e ) = (np ¤ b)y(x0) (d)
De la ecuación (11) se tiene lo siguiente:
(12)
Con la ecuación (c), se obtiene la constante de integración P0 en x0':
P0 = cos(e0')
Entonces, con la ecuación (5):
P0 = cos(e0') = cos(e')cos(h'(e)) (13-A)
Por lo tanto:
cos(h'(e )) = cos(e0')/cos(e') (13-B)
con esta expresión y la siguiente identidad:
sen2(h'(e )) + cos2(h'(e )) = 1
se obtiene la siguiente expresión:
(14)
sustituyendo (14) en (12):
(15)
Con el objetivo de tener p ¤ 2 en el límite superior de la integración, se usa el siguiente artificio:
cos2(e') = 1 - sen2(e'0)sen2(u') (16)
donde u es la nueva variable de integración:
e
' = e0' Ù cos2(e0') + sen2(e0') = 1 Þ u' = p ¤ 2e
= 0 Ù sen2(e0) ¹ 0 Þ u' = 0
de la ecuación (16):
[De' {cos2(e')}]de' = [Du' {1 - sen2(e 0)sen2(u')}]du'
calculando las derivadas:
cos(e')sen(e')de' = sen2(e0')sen(u')cos(u')du' (16-B)
Es válida la siguiente identidad:
cos2(e0') + sen2(e0') = 1
entonces, con la ecuación (16), se obtiene la siguiente ecuación:
sen
(e') = sen(e0')sen(u')
con la ecuación (16-B) se llega a la siguiente expresión:
cos(e')de' = sen(e0')cos(u')du' (16-C)
De la ecuación (16) se tiene lo siguiente:
cos(e') = [1 - sen2(e0')sen2(u')]1/2
sustituyendo esta ecuación en la (16-C):
(17)
Sustituyendo las ecuaciones (16) y (17) en la ecuación (15):
con
cos2(e0') = 1 - sen2(e0') y sen(u') = (1 - sen2(u'))1/2:
con
sen2(e0') = 1 - cos2(e0'):
(18-A)
el primer término del segundo miembro de la igualdad puede ser denotado con E(sen(e0')) y, con la ecuación (13-A), el segundo término se puede denotar con po2K(sen(e0')), por lo tanto:
y(e0') = E(sen(e0')) - po2 K(sen(e0')) (18-B)
Con la ecuación (13-A) se puede realizar la siguiente definición:
k
= sen(e0') = (1 - cos2(e0'))1/2 = (1 - p02)1/2 Þ p02 = 1 - k 2 (18-C)
entonces, la ecuación (18-B) queda expresada de la siguiente manera:
y(e0') = E(k ) - (1 - k 2) K(k ) (14)
Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (11):
en la superficie
z = 0, resulta el flujo eléctrico normado:
siguiendo la misma metodología realizada para la determinación de ecuación de las líneas de campo eléctrico de la onda TE, para la onda TM se tiene la siguiente expresión:
y
(x0)/y 0 = [E(k ) - (1 - k 2) K(k )]cos(b *mnz) (15)
donde:
f(k) = E(k ) - (1 - k 2) K(k )
en el sistema de coordenadas ordinario:
c = y (x0)/y 0 = f(k) cos(bmnz)
Por otro lado, la constante de integración
p, sustituyendo las ecuaciones (c) y (d) en la (3) y a esta en la ecuación (18-C):
De la ecuación (18-C) con la ecuación (c) con
m = 1:
p
(xo'/a) = arcsen(k)
de la ecuación (15):
z/l*mn = (1/2p ) arccos(c/f(k )) (16)
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