SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

 

Un volumen esférico puede ser construido por la superposición de infinitas superficies esféricas concéntricas. Cada superficie esférica puede ser construida por la rotación de semicircunferencias concéntricas alrededor de un eje. Cada semicircunferencia puede ser construida organizando infinitos puntos que equidisten de un punto llamado centro. El centro de las semicircunferencias es el mismo centro de las superficies esféricas y, por lo tanto, también es el centro del volumen esférico. En la figura se representa a una esfera.

En definitiva, una esfera sólida puede construirse rotando alrededor de un punto llamado centro, otro punto a distintas distancias del primero y en distintas direcciones.

Considérese el punto P mostrado en la figura, tiene coordenadas (x, y, z). A estas coordenadas se puede asociar un vector r de componentes [x, y, z] en el sistema de coordenadas rectangulares. Al vector r se le puede expresar con sus componentes en términos de su módulo y su dirección respecto a dos de los tres ejes coordenados X, Y, Z.

r es el módulo del vector posición r, f es la dirección que tiene este vector respecto al eje de coordenadas X en el plano Z = 0, y q da la dirección del vector r respecto al eje de coordenadas Z.

En la figura puede observarse que:

x = r Sen(q ) Cos(f ); y = r Sen(q ) Sen(f ); z = r Cos(q ). (1)

(las ecuaciones (1) son las ecuaciones de definición cartesiana del sistema).

Por lo tanto el vector posición puede ser expresado de la siguiente manera:

r = r Sen(q ) Cos(f ) e_x + r Sen(q ) Sen(f )e_y + r Cos(q )e_z. (2) 

En consecuencia, un volumen esférico con centro en la intersección de los ejes coordenados puede construirse variando las componentes r, f y q bajo las siguientes condiciones:

r >= 0; 0 <= f <= 2p ; 0 <= q <= p . (3)

Ahora se tiene un nuevo sistema de coordenadas llamado Sistema de Coordenadas Esféricas que consiste en asociar a un punto en el espacio un vector posición r de componentes [r, f , q ].

Todos los sistemas de coordenadas, en dos o tres dimensiones, cumplen con el requisito de que los vectores unitarios forman una base del espacio que representan, es decir, que son mutuamente perpendiculares.

Ahora se procede a determinar la forma que tienen los vectores unitarios en coordenadas esféricas. Para ello se parte de la definición del vector unitario :

donde h_i es el módulo del vector unitario, también conocido como Factor Métrico, y u_i representa un eje de coordenadas cuya dirección queda definida por el vector unitario.

  (5)

Primero se determina el valor de h_i para la primera coordenada del punto P que es r, para ello se sustituyen las ecuaciones (1) en la ecuación (5):

i = r Þ u_i = r Ù \ h _r = 1. (6)

Al sustituir la ecuación (2) y (6) en la ecuación (4), se obtiene lo siguiente:

En coordenadas esféricas las componentes del vector unitario e_r son [1, 0, 0].

De la misma manera, se determina el valor de h_i para la segunda coordenada del punto P que es f :

i = f Þ u_i = f Ù \ hf = r Sen(q ). (7)

Al sustituir la ecuación (2) y (7) en la ecuación (4), se obtiene lo siguiente:

En coordenadas cilíndricas las componentes del vector unitario e_f son [0, 1, 0].

Igualmente, para la tercera coordenada de P, que es q , se determina el valor de h_i :

i = q Þ u_i = q Ù \ hq = r. (8)

Al sustituir la ecuación (2) y (8) en la ecuación (4), se obtiene lo siguiente:

En coordenadas esféricas las componentes del vector unitario e_q son [0, 0, 1].

Ahora que se conoce el sistema de coordenadas cilíndricas, es conveniente determinar la forma que tienen las operaciones vectoriales en este sistema.

Sea j una función escalar continua y diferenciable en su dominio. En términos generales, el operador Ñ se define de la siguiente manera:

  (9)

el gradiente de una función escalar j es:

grad(j ) = Ñ j (10)

Entonces, en coordenadas esféricas, al sustituir las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuación (10), el gradiente de una función escalar queda expresado de la siguiente forma:

Sea V una función vectorial cuyas componentes son continuas y diferenciables en sus dominios. La divergencia de una función vectorial V es:

divV = D · V (11)

Al sustituir las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) en la expresión (11), se obtiene, para el sistema de coordenadas esféricas, la siguiente expresión de la divergéncia:

El rotacional de una función vectorial V , cuyas componentes son continuas y diferenciables en sus dominios, está expresado de la siguiente manera:

  (12)

Por consiguiente, en coordenadas esféricas, al sustituir la ecuaciones (6), (7), (8) y (9) en la ecuación (12), el rotacional de una función vectorial queda determinado por la siguiente ecuación:

El operador de Laplace se determina mediante la siguiente ecuación:

  (13)

Al sustituir la ecuaciones (6), (7), (8) y (9) en el ecuación (13), se obtiene la expresión del operador de Laplace para el sistema de coordenadas esféricas:

Ahora que se conoce la forma que tienen las diferentes operaciones vectoriales en coordenadas esféricas, se procede a conocer algunas aplicaciones de las mismas.

DETERMINACION DEL AREA DE UNA SUPERFICIE ESFERICA:

 

Considérese el diferencial de volumen mostrado en la figura. Este podría construirse moviendo un punto, definido en un sistema de coordenadas esféricas, bajo las siguientes condiciones:

0 < r < dr; 0 < f < df ; 0 < q < dq ; (14)

Considérese un diferencial de superficie como el que se muestra en la figura.

La longitud de arco ds se puede calcular con la siguiente ecuación:

ds = r dµ (15)

 

 

En la figura se muestran las superficies diferenciales que limitan al volumen dv.

Estas superficies pueden ser aproximadas a superficies planas como la de la figura de arriba (µ puede ser f o q )., entonces, la ecuación (15) es válida.

Bajo estas consideraciones, se puede obtener los resultados siguientes:

En la figura se muestran las dimensiones del diferencial dv. Una manera de demostrar esto es realizando el análisis que se presenta a continuación.

Como se dijo anteriormente, este sólido podría construirse moviendo un punto, definido en un sistema de coordenadas esféricas, bajo las condiciones (14), entonces, el vector posición de este punto queda definido de la siguiente manera, usando las ecuaciones de definición cartesiana:

r = (rSenq Cosf )e_x + (rSenq Senf )e_y + (rCosq )e_z

Con la variación del vector r respecto a los ejes coordenados se construye el volumen del sólido dv.

Para la superficie q constante se cumple los siguiente:

dr es el barrido del punto en toda la superficie q constante.

Análogamente. para la superficie f constante, se cumple lo siguiente:

dr es el barrido del punto en toda la superficie f constante.

CALCULO DEL AREA DE UNA SUPERFICIE ESFERICA DE RADIO "r":

 

Para r constante, solo se presenta el barrido de un punto en las direcciones de e_f y e_q , por lo tanto, el area de la superficie r constante se calcula de la siguiente manera:

La función que se integra es el producto r²Senqdqdf que da el área del diferencial de superficie dA de la esfera; por lo tanto A es el área de la superficie esférica completa.

CALCULO DEL VOLUMEN ENCERRADO POR UNA SUPERFICIE ESFERICA DE RADIO "r":

 

El volumen se construye barriendo el espacio con un punto en las direcciones de e_r, ef y eq .

El volumen de este diferencial es dv = r²Senq drdq df, por lo tanto, al agrupar todos estos diferenciales de volumen, se obtiene un sólido cuyo volumen es igual a la suma de los volúmenes infinitesimales:

V es el volumen de una esféra sólida.

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