APLICACIÓN DE MATLAB EN EL PRIMER PROBLEMA SIMÉTRICO RECTANGULAR
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En la figura se muestra la sección transversal del sistema conformado por un ducto y una barra sólida. El ducto está conectado a tierra y la barra se encuentra a un potencial Vo, ambos, de longitud infinita. Entre estos se encuentran tres medios dieléctricos en los que no existe densidad alguna de carga eléctrica. Este sistema está aislado.
Se desea determinar la forma de las superficies equipotenciales entre el ducto y la barra. |
A continuación se muestra el corte transversal del sistema.
En la imagen anterior puede apreciarse la simetría alrededor del eje x = 0.5a.
La región I está limitada por los ejes x=0, x=X2, y=0, y=Y1. La región II está limitada por los ejes x=0, x=X1, y=Y1, y=Y2. La región III está limitada por los ejes x=0, x=X2, y=y2, y=Y3.
La expresión que define al potencial, normado a Vo, en la región I es la siguiente:
donde F(x)=Sen(p(i)x), p(i)=0.5p(2i-1)/X2 son los valores eigen y A(i) son las constantes de la región I.
La expresión que define al potencial, normado a Vo, en la región II es la siguiente:
donde G(x)=Sen(q(i)x) son las funciones eigen, q(i)=ip/X1 son los valores característicos de esta región y, B(i) y C(i) son sus constantes.
La expresión que define al potencial, normado a Vo, en la región III es la siguiente:
donde F(x)=Sen(p(i)x), p(i)=0.5p(2i-1) /X2 son los valores eigen, que son iguales a los de la región I y, D(i) son las constantes de la región III.
Se ha desarrollado un programa usando MATLAB versión 5.3.0.10183 (R11) que permite trazar la gráfica el contorno de las superficies equipotenciales dentro de los dieléctricos.
Los parámetros que se le asignaron al programa son X1=1; X2=1.5; Y1=1; Y2=2; Y3=3; tomando en cuenta cincuenta valores eigen para los cálculos. La constante dieléctrica relativa de los materiales de las regiones I y II es 2.5, que pertenece al caucho, la del material de la región III es 3 que corresponde a la ebonita.
A
continuación se muestran los resultados obtenidos:
|
i |
A(i) |
B(i) |
C(i) |
D(i) |
p(i) |
q(i) |
|
1 |
0,98132634 |
-0,132946 |
0,00599238 |
0,98781572 |
1,04719755 |
3,14159265 |
|
2 |
-0,0926256 |
0,03983276 |
-0,0021675 |
-0,0846357 |
3,14159265 |
6,28318531 |
|
3 |
-0,0378146 |
-0,0202254 |
0,00115454 |
-0,0388241 |
5,23598776 |
9,42477796 |
|
4 |
0,04320501 |
0,01253433 |
-0,0007395 |
0,04125446 |
7,33038286 |
12,5663706 |
|
5 |
-0,0142533 |
-0,0069988 |
0,00036068 |
-0,0127139 |
9,42477796 |
15,7079633 |
|
6 |
-0,0102611 |
0,00640389 |
-0,0003971 |
-0,0102594 |
11,5191731 |
18,8495559 |
|
7 |
0,01579935 |
-0,0049675 |
0,0003143 |
0,01484398 |
13,6135682 |
21,9911486 |
|
8 |
-0,0064771 |
0,00398999 |
-0,000257 |
-0,0058422 |
15,7079633 |
25,1327412 |
|
9 |
-0,004272 |
-0,0032916 |
0,00021551 |
-0,0043462 |
17,8023584 |
28,2743339 |
|
10 |
0,00783771 |
0,00277353 |
-0,0001843 |
0,00737751 |
19,8967535 |
31,4159265 |
|
11 |
-0,0035212 |
-0,0033187 |
0,00028549 |
-0,0031021 |
21,9911486 |
34,5575192 |
|
12 |
-0,0026871 |
0,00206748 |
-0,0001412 |
-0,0026969 |
24,0855437 |
37,6991118 |
|
13 |
0,00496196 |
-0,0019087 |
0,00013634 |
0,00465014 |
26,1799388 |
40,8407045 |
|
14 |
-0,0023381 |
0,00161836 |
-0,0001132 |
-0,0020507 |
28,2743339 |
43,9822972 |
|
15 |
-0,0016997 |
-0,0021033 |
0,00019306 |
-0,0017272 |
30,368729 |
47,1238898 |
|
16 |
0,00321706 |
0,00131386 |
-9,392E-05 |
0,00304627 |
32,4631241 |
50,2654825 |
|
17 |
-0,0008055 |
-0,0009655 |
6,0901E-05 |
-0,0006779 |
34,5575192 |
53,4070751 |
|
18 |
-0,0016022 |
0,00109767 |
-8,008E-05 |
-0,0015328 |
36,6519143 |
56,5486678 |
|
19 |
0,0027174 |
-0,0010125 |
7,4593E-05 |
0,0025076 |
38,7463094 |
59,6902604 |
|
20 |
-0,0012599 |
0,00093893 |
-6,984E-05 |
-0,0010919 |
40,8407045 |
62,8318531 |
|
21 |
-0,0010393 |
-0,0008752 |
6,571E-05 |
-0,0010296 |
42,9350996 |
65,9734457 |
|
22 |
0,00194192 |
0,00081964 |
-6,211E-05 |
0,00181767 |
45,0294947 |
69,1150384 |
|
23 |
-0,0002722 |
-0,0007712 |
5,8972E-05 |
-0,0002264 |
47,1238898 |
72,256631 |
|
24 |
-0,0010932 |
0,00072885 |
-5,624E-05 |
-0,001019 |
49,2182849 |
75,3982237 |
|
25 |
0,00187081 |
-0,0006919 |
5,3864E-05 |
0,00169516 |
51,31268 |
78,5398163 |
|
26 |
-0,0009056 |
0,00065992 |
-5,182E-05 |
-0,0007981 |
53,4070751 |
81,681409 |
|
27 |
-0,0006598 |
-0,0006325 |
5,0096E-05 |
-0,0006503 |
55,5014702 |
84,8230016 |
|
28 |
0,00140291 |
0,00060938 |
-4,867E-05 |
0,00128621 |
57,5958653 |
87,9645943 |
|
29 |
-0,0007247 |
-0,0007014 |
6,2652E-05 |
-0,0006252 |
59,6902604 |
91,106187 |
|
30 |
-0,0005653 |
0,0005774 |
-4,681E-05 |
-0,0005549 |
61,7846555 |
94,2477796 |
|
31 |
0,00118716 |
-0,0005706 |
4,6482E-05 |
0,00108698 |
63,8790506 |
97,3893723 |
|
32 |
-0,0006272 |
0,00057479 |
-4,67E-05 |
-0,0005396 |
65,9734457 |
100,530965 |
|
33 |
-0,000468 |
-0,0006079 |
4,7017E-05 |
-0,0004618 |
68,0678408 |
103,672558 |
|
34 |
0,00101591 |
0,00077143 |
-8,421E-05 |
0,00092966 |
70,1622359 |
106,81415 |
|
35 |
-0,0005534 |
-0,000678 |
7,344E-05 |
-0,0004748 |
72,256631 |
109,955743 |
|
36 |
-0,0003895 |
0,00061403 |
-6,619E-05 |
-0,0003872 |
74,3510261 |
113,097336 |
|
37 |
0,00088066 |
-0,0005641 |
6,0601E-05 |
0,00080577 |
76,4454212 |
116,238928 |
|
38 |
-0,0004972 |
0,00052275 |
-5,601E-05 |
-0,0004254 |
78,5398163 |
119,380521 |
|
39 |
-0,0003232 |
-0,0004874 |
5,2108E-05 |
-0,0003249 |
80,6342114 |
122,522113 |
|
40 |
0,00076994 |
0,00045647 |
-4,872E-05 |
0,00070501 |
82,7286065 |
125,663706 |
|
41 |
-0,000455 |
-0,0004291 |
4,5722E-05 |
-0,0003882 |
84,8230016 |
128,805299 |
|
42 |
-0,0002574 |
0,00040454 |
-4,305E-05 |
-0,0002654 |
86,9173967 |
131,946891 |
|
43 |
0,00065661 |
-0,0003824 |
4,0644E-05 |
0,00060576 |
89,0117919 |
135,088484 |
|
44 |
-0,0003625 |
0,00036224 |
-3,846E-05 |
-0,0003031 |
91,106187 |
138,230077 |
|
45 |
-0,0002571 |
-0,0003438 |
3,6475E-05 |
-0,0002572 |
93,2005821 |
141,371669 |
|
46 |
0,00063556 |
0,00032695 |
-3,465E-05 |
0,00057963 |
95,2949772 |
144,513262 |
|
47 |
-0,0004114 |
-0,0003114 |
3,298E-05 |
-0,0003494 |
97,3893723 |
147,654855 |
|
48 |
-0,0001715 |
0,000297 |
-3,143E-05 |
-0,0001854 |
99,4837674 |
150,796447 |
|
49 |
0,00056117 |
-0,0002837 |
3,0004E-05 |
0,00051718 |
101,578162 |
153,93804 |
|
50 |
-0,0004366 |
0,00027127 |
-2,868E-05 |
-0,0003739 |
103,672558 |
157,079633 |
Con
estos datos es posible obtener los siguientes cálculos:
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VIII(x, y) |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2,9 |
0 |
0,007861 |
0,01571497 |
0,02354702 |
0,0313268 |
0,03900137 |
0,04649003 |
0,05368256 |
0,06044322 |
0,0666216 |
0,07206926 |
0,0766577 |
0,08029151 |
0,08291191 |
0,08449044 |
0,08501725 |
|
|
2,8 |
0 |
0,01572774 |
0,03144924 |
0,04714253 |
0,06275406 |
0,07818359 |
0,09327174 |
0,10779438 |
0,12146898 |
0,13397739 |
0,14500356 |
0,15427645 |
0,16160164 |
0,16686874 |
0,17003375 |
0,17108849 |
|
|
2,7 |
0 |
0,02359808 |
0,04720646 |
0,07081194 |
0,09435329 |
0,11769603 |
0,14060876 |
0,16274782 |
0,18366113 |
0,20282323 |
0,21970465 |
0,23385765 |
0,24498132 |
0,25293351 |
0,2576883 |
0,25926834 |
|
|
2,6 |
0 |
0,03145423 |
0,06295863 |
0,09453322 |
0,1261348 |
0,15761925 |
0,18870046 |
0,21891372 |
0,24760323 |
0,27396397 |
0,29716029 |
0,31649634 |
0,33155258 |
0,34220336 |
0,34851521 |
0,35060212 |
|
|
2,5 |
0 |
0,03925526 |
0,07863022 |
0,11821083 |
0,15800969 |
0,19791537 |
0,23762673 |
0,27657614 |
0,31386714 |
0,34829333 |
0,37852608 |
0,40346763 |
0,42256246 |
0,43581885 |
0,44355448 |
0,44609046 |
|
|
2,4 |
0 |
0,04693114 |
0,09408426 |
0,14164993 |
0,18974658 |
0,23836118 |
0,28725814 |
0,3358402 |
0,38296957 |
0,42685527 |
0,46528336 |
0,49638861 |
0,51946307 |
0,5349518 |
0,54375733 |
0,54660496 |
|
|
2,3 |
0 |
0,05438005 |
0,10911424 |
0,16453699 |
0,2209298 |
0,27846591 |
0,3371136 |
0,39643902 |
0,45522566 |
0,51092786 |
0,559587 |
0,59755557 |
0,6240197 |
0,6407266 |
0,64983529 |
0,65272493 |
|
|
2,2 |
0 |
0,06147185 |
0,1234476 |
0,18643662 |
0,25093851 |
0,31739692 |
0,38616825 |
0,45734959 |
0,53027161 |
0,60203732 |
0,66518026 |
0,71071109 |
0,73835243 |
0,75394054 |
0,76197184 |
0,76448537 |
|
|
2,1 |
0 |
0,06805375 |
0,13677368 |
0,20680793 |
0,2789902 |
0,35396433 |
0,43271986 |
0,51619345 |
0,60564513 |
0,70092831 |
0,79071639 |
0,84273256 |
0,8642658 |
0,87428584 |
0,87935619 |
0,88118579 |
|
|
2 |
0 |
0,07346311 |
0,14896353 |
0,22511091 |
0,3047746 |
0,38590297 |
0,47481079 |
0,56934729 |
0,67453073 |
0,79616013 |
0,98384547 |
1,00234517 |
0,99982312 |
0,99812518 |
0,99875738 |
1,00431413 |
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
X |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VII(x, y) |
|
2 |
0,0 |
0,07604315 |
0,14813129 |
0,22363318 |
0,30364171 |
0,38964426 |
0,47426709 |
0,56718206 |
0,67376988 |
0,79978426 |
1 |
|
|
1,9 |
0 |
0,07846885 |
0,15717951 |
0,23780327 |
0,32185064 |
0,41005186 |
0,503083 |
0,60388511 |
0,71636804 |
0,84635264 |
1 |
|
|
1,8 |
0 |
0,08149404 |
0,16382432 |
0,24811816 |
0,33555872 |
0,42719292 |
0,5242424 |
0,62848844 |
0,74203637 |
0,86648599 |
1 |
|
|
1,7 |
0 |
0,08376491 |
0,16850132 |
0,25525075 |
0,34508455 |
0,4390582 |
0,53825259 |
0,64375739 |
0,75637139 |
0,87588627 |
1 |
|
|
1,6 |
0 |
0,08508094 |
0,17117007 |
0,25929249 |
0,35047551 |
0,44571362 |
0,54591453 |
0,65176535 |
0,763445 |
0,88019833 |
1 |
|
|
1,5 |
0 |
0,08539285 |
0,1718064 |
0,26026821 |
0,35179904 |
0,44737421 |
0,54784661 |
0,65378828 |
0,76521651 |
0,88126226 |
1 |
|
|
1,4 |
0 |
0,08468592 |
0,17039399 |
0,25816818 |
0,3490601 |
0,44409444 |
0,54421946 |
0,65017326 |
0,76218025 |
0,87948967 |
1 |
|
|
1,3 |
0 |
0,08296195 |
0,16691721 |
0,25294582 |
0,34216818 |
0,43569423 |
0,53468327 |
0,64034233 |
0,75359851 |
0,87430086 |
1 |
|
|
1,2 |
0 |
0,08026524 |
0,16137341 |
0,24452322 |
0,33098144 |
0,42185004 |
0,51844231 |
0,62275267 |
0,73717537 |
0,86357128 |
1 |
|
|
1,1 |
0 |
0,07682661 |
0,15378178 |
0,23274993 |
0,31539642 |
0,40245407 |
0,49453903 |
0,59501954 |
0,70830482 |
0,84094113 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0,07432962 |
0,14356546 |
0,21675619 |
0,29490552 |
0,38006195 |
0,46233426 |
0,55386724 |
0,66073201 |
0,78904308 |
1 |
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
X |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI(x, y) |
|
1 |
0 |
0,07139355 |
0,14450113 |
0,21841701 |
0,29629498 |
0,37568139 |
0,46298395 |
0,55641068 |
0,66151858 |
0,78487593 |
0,98168179 |
1,00280147 |
0,99972116 |
0,99789342 |
0,99855127 |
1,00496221 |
|
|
0,9 |
0 |
0,06624917 |
0,13313322 |
0,20141938 |
0,27207321 |
0,34574934 |
0,42348856 |
0,50648566 |
0,59637748 |
0,69343198 |
0,78640287 |
0,84080026 |
0,86319392 |
0,87356264 |
0,87881385 |
0,88073875 |
|
|
0,8 |
0 |
0,05998031 |
0,12049395 |
0,18211474 |
0,24541719 |
0,31090664 |
0,37902555 |
0,45001799 |
0,52338515 |
0,59631478 |
0,66110028 |
0,70809275 |
0,736644 |
0,75272492 |
0,76100657 |
0,76360056 |
|
|
0,7 |
0 |
0,05318034 |
0,10675502 |
0,16110828 |
0,21657795 |
0,27339654 |
0,33160149 |
0,39083869 |
0,44995356 |
0,50638328 |
0,55600677 |
0,59490692 |
0,62207904 |
0,63924279 |
0,6486016 |
0,65157089 |
|
|
0,6 |
0 |
0,04598518 |
0,09223058 |
0,13896804 |
0,18636033 |
0,23444065 |
0,28302011 |
0,33154218 |
0,37888578 |
0,42322668 |
0,46225356 |
0,49396726 |
0,51755139 |
0,53340322 |
0,54242093 |
0,54533794 |
|
|
0,5 |
0 |
0,03852546 |
0,07720308 |
0,11615215 |
0,15541926 |
0,19492622 |
0,23440156 |
0,27329765 |
0,31071868 |
0,34542957 |
0,37604241 |
0,40138436 |
0,42083376 |
0,43435794 |
0,4422571 |
0,44484777 |
|
|
0,4 |
0 |
0,03090828 |
0,06189238 |
0,0929979 |
0,12420661 |
0,15539733 |
0,18630225 |
0,21646632 |
0,2452298 |
0,27176663 |
0,29520422 |
0,31480176 |
0,33009786 |
0,3409364 |
0,3473662 |
0,34949316 |
|
|
0,3 |
0 |
0,02321036 |
0,04644979 |
0,06972345 |
0,09298748 |
0,11612249 |
0,13890813 |
0,16100534 |
0,18195775 |
0,20122566 |
0,21825662 |
0,23257549 |
0,24385496 |
0,25193189 |
0,25676646 |
0,25837386 |
|
|
0,2 |
0 |
0,01547944 |
0,03096484 |
0,04644603 |
0,06188036 |
0,0771767 |
0,09218197 |
0,10667411 |
0,12036744 |
0,13293504 |
0,14404747 |
0,15341778 |
0,16083593 |
0,16617852 |
0,16939235 |
0,17046393 |
|
|
0,1 |
0 |
0,00773987 |
0,01547868 |
0,02320734 |
0,03090071 |
0,03851016 |
0,04595783 |
0,0531343 |
0,0599022 |
0,066107 |
0,07159402 |
0,07622745 |
0,07990458 |
0,08256044 |
0,08416205 |
0,08469684 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
X |
Basándose en estos resultados, es posible trazar las siguientes gráficas:
Contorno
de las superficies equipotenciales se muestra a continuación:
En y=1 y y=2, se muestra en la gráfica el promedio de los potenciales:
La calidad de los cálculos es proporcional a número de valores eigen que se tomen en cuenta, es decir, cuanto mayor sea dicho número, mejor será la aproximación de los resultados a la realidad, prueba de ello son las siguientes gráficas:
La dos gráficas anteriores corresponden a los cálculos hechos con 50 valores eigen, todo el proceso toma alrededor de quince segundos.
Las dos gráficas anteriores corresponden a los cálculos hechos con 10 valores eigen.
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