Debido a que el ducto tiene longitud infinita, en su interior, las superficies equipotenciales no tienen su forma dependiendo del eje z. La diferencia de potencial entre los puntos ( x₁ , y₁ , z₁ ) y ( x₁ , y₁ , z₂ ) es cero. Esto significa que el problema es independiente del eje z.

En la figura se muestra la vista frontal del sistema. Es una superficie "z constante". Dentro del ducto existen dos medios dieléctricos (uno es el gris claro y el otro es el gris oscuro). Las paredes rojas se encuentran a un potencial V_o, mientras que las paredes negras se encuentran conectadas a tierra. A simple vista, puede observarse la simetría que tiene el sistema respecto al eje x = X2, esta simetría es tanto del punto de vista geométrico como eléctrico. Porque, por ejemplo, la diferencia de potencial entre el punto ((X2 - X1)/2, y1, z) y el punto ((X3 - X2)/2, y1 , z) es cero ya que (X2 - X1) es igual a (X3 - X2).

Bajo estas consideraciones, se puede llegar a la conclusión de que el sistema puede ser dividido en dos partes iguales, subsistemas, y que al determinar la forma del potencial en el interior de una de las dos partes, automáticamente se obtendrá la forma del de la otra parte.

En la figura se muestra la parte del sistema con la que se le va a calcular el potencial en el interior del ducto.

Dado a las condiciones geométricas del problema, este subsistema puede distribuirse en tres regiones:

Hay que tener pendiente que la región I corresponde al medio dieléctrico representado con el color gris oscuro, y que las regiones II y III corresponden al medio dieléctrico representado con el color gris claro.

Se sabe que el potencial depende del eje x y del eje y y de la naturaleza de los medios dieléctricos.

V = V(x,y)

Además se sabe que en el interior del ducto, es decir, de los medios dieléctricos, no existe densidad alguna de carga espacial, por lo tanto, partiendo de la ecuación de Poisson, que describe al campo electrostático, se obtiene lo siguiente:

Esta es la ecuación diferencial de Laplace para el potencial eléctrico.

Debido a la dependencia del potencial de los ejes x y y, puede hacerse uso del artificio del producto de Bernoulli

V(x,y) = X(x)Y(y)

para la determinación de la forma de la ecuación diferencial del potencial, aplicándola a la ecuación diferencial de Laplace:

La solución de esta ecuación diferencial es:

Con i = 1, 2, 3.., y donde A_o, An_i, B_o, Bn_i, C_o, Cn_i, D_o y Dn_i son constantes desconocidas.

Así como el espacio puede estar distribuido en las tres regiones anteriormente definidas, el voltaje también lo puede estar. Esto es posible gracias a las propiedades de la simetría electrostática descritas anteriormente:

A partir de la ecuación (1) y de las condiciones de frontera homogéneas de cada región del subsistema, se puede obtener la forma que tienen V_I(x,y), V_II(x,y) y V_III(x,y), respectivamente.

DETERMINACIÓN DE V_I(x,y):

Partiendo de la solución de la ecuación diferencial de Laplace para el potencial y aplicando las condiciones "a", "c" y "b" en ese mismo orden, se llega a lo siguiente:

EXPRESIÓN DEL POTENCIAL EN LA REGIÓN I:

Con la condición "a":

Para que esta condición sea válida, debe cumplirse que A_O = 0 y A_P = 0, por lo tanto, la expresión de la solución de la ecuación de Laplace para la región I se simplifica como se muestra a continuación:

Haciendo C_pi = B_piC_pi y D_pi = B_piD_pi, la expresión se simplifica aún más:

Con la condición "b":

Para que esta condición sea válida, debe cumplirse los siguiente:

C₀ = 0;

D₀ = 0;

Además, debe cumplirse que Cos(p_iX2) = 0, así se obtiene la función Eigen de la región I

todos los valores de p_i que satisfacen la ecuación se determinan mediante la siguiente expresión:

estos son los valores Eigen, con i = 1, 2, 3, 4, ..., n, que determina el número de valores Eigen que se van a tomar en cuenta.

Bajo estas consideraciones, se obtiene la expresión de la solución de la ecuación diferencial de Laplace para la región I:

NORMALIZACIÓN A V₀ DE LA EXPRESIÓN DEL POTENCIAL SIMPLIFICADA EN LA REGIÓN I (V_I(x,y)):

F^T(x) es el vector transpuesto de F(x) cuyas componentes son f_i = Sen(p_i x).

P es una matriz diagonal cuyas componentes son p_ii = p_i.

C es un vector cuyas componentes son c_i = C_pi.

D es un vector cuyas componentes son d_i = D_pi.

Dependiendo del número de valores Eigen con los que se hagan los cálculos, queda definido el orden de los vectores F, C y D, y de la matriz P.

DETERMINACIÓN DE V_II(x,y):

Partiendo de la solución de la ecuación diferencial de Laplace para el potencial y aplicando las condiciones "a" y "b" en ese mismo orden, se llega a lo siguiente:

EXPRESIÓN DEL POTENCIAL EN LA REGIÓN II:

FUNCION EIGEN:

con i = 1, 2, 3, 4, ..., n, que determina el número de valores Eigen que se van a tomar en cuenta.

SIMPLIFICACIÓN DE LA EXPRESIÓN DEL POTENCIAL EN LA REGIÓN I:

Haciendo E_qi = B_qiC_qi y H_qi = B_qiD_qi, la expresión se simplifica aún más:

NORMALIZACIÓN A V₀ DE LA EXPRESIÓN DEL POTENCIAL SIMPLIFICADA EN LA REGIÓN II (V_II(x,y)):

G^T(x_II) es el vector transpuesto de G(x_II) cuyas componentes son F_i = Sen(q_i x_II)).

Q es una matriz diagonal cuyas componentes son Q_ii = q_i.

E es un vector cuyas componentes son E_i = E_qi.

H es un vector cuyas componentes son H_i = H_qi.

Dependiendo del número de valores Eigen con los que se hagan los cálculos, queda definido el orden de los vectores G y E y H, y de la matriz Q.

DETERMINACIÓN DE V_III(x,y):

Partiendo de la solución de la ecuación diferencial de Laplace para el potencial y aplicando las condiciones "a" y "b" en ese mismo orden, se llega a lo siguiente:

EXPRESIÓN DEL POTENCIAL EN LA REGIÓN III:

Aplicando la condición "a", se obtiene lo siguiente:

Para que esta proposición sea válida, A₀ = 0V y A_pi = 0V, de esta manera la expresión del potencial para la región III queda simplificada de la siguiente manera:

Haciendo B₀C₀ = M₀, B_piC_pi = M_pi, B₀D₀ = N₀ y B_piC_pi = M_pi, la expresión del potencial queda como a continuación:

Al aplicar la condición "b", se obtiene lo siguiente:

Para que esta proposición sea válida, debe cumplirse que M₀ = 0 y N₀ = 0; además:

FUNCIÓN EIGEN

E(p_i) = Cos(p_iX₂)

VALORES EIGEN:

Para que E(p_i) = 0, y se cumpla la condición "b", debe ser cierto que:

con i = 1, 2, 3, ..., n, que determina el número de valores Eigen que se van a tomar en cuenta para los cálculos.

Con todas estas afirmaciones, la expresión del potencial electrostático para la región III queda simplificada de la siguiente manera:

NORMALIZACIÓN A V₀ DE LA EXPRESIÓN DEL POTENCIAL SIMPLIFICADA EN LA REGIÓN III (V_III(x,y)):

F^T(x_II) es el vector transpuesto de F(x_II) cuyas componentes son f_i = Sen(q_i x_II)).

P es una matriz diagonal cuyas componentes son q_ii = q_i.

M es un vector cuyas componentes son e_i = E_qi.

N es un vector cuyas componentes son h_i = H_qi.

Antes de continuar, es necesario aclarar lo siguiente, obsérvese la forma que tienen las funciones Senh(x) y Cosh(x):

Cuando x tiende a cero, el seno hiperbólico adopta valores finitos, pero en la medida que x crece o decrece, alejándose del origen, esta función tiende más y más hacia el infinito.

Cuando x tiende a cero, el seno hiperbólico tiende a uno, pero en la medida que x crece o decrece, alejándose del origen, esta función tiende más y más hacia el infinito.

Como las expresiones para el potencial, en cada una de las zonas del subsistema, contienen términos de senos y cosenos hiperbólicos, es necesario solucionar el problema de la indeterminación de estos términos donde los valores del eje y hace que su argumento sea diferente de cero. Una manera de solucionar este problema es realizando las siguientes normaciones:

Para la región I:

entonces

Para la región II:

entonces

Para la región III:

entonces

En el momento en que hayan sido determinados los valores de las constantes desconocidas, se procede a graficar estas nuevas funciones.

DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE LAS CONSTANTES DESCONOCIDAS:

Una vez obtenida la forma que tiene cada una de las funciones que definen el potencial en las regiones respectivas del subsistema, se procede a determinar el valor de las constantes desconocidas, para ello se parte del principio de la continuidad del flujo eléctrico a través de las superficies de contacto entre las regiones y aplicando la Ley de Tensiones de Kircchoff en las superficies y = Y1 y y = Y2.

Se sabe que el flujo eléctrico a través de una superficie es continuo aunque la líneas de flujo no sea normales a dicha superficie, entonces, las componentes en dirección del eje y son continuas en la superficie, es decir:

Entre la región I y la región II, cuando x toma valores entre X1 y X2:

desarrollando esta ecuación, se llega a la siguiente conclusión:

A parte de esto, es válida la siguiente expresión:

esta es la ley de tensiones de Kircchoff para la superficie y = Y1 con x entre 0 y X2.

Análogamente, para la superficie y = Y2, se tiene lo siguiente:

válido solamente con x entre X1 y X2.

válido solamente con x entre 0 y X2.

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en la ecuación (d) y desarrollando, se obtiene la siguiente expresión:

multiplicando la ecuación (h) por ( 2 / X2-X1 )G(x) y expresándola en forma de integrales, se obtiene lo siguiente:

(i)

simplificando la expresión de esta ecuación:

esta es una matriz diagonal 1

bajo estas consideraciones, la ecuación (i) puede ser expresada de la siguiente manera:

Z W C = Q( -T E + K H ) (1)

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en la ecuación (e), se obtiene la siguiente expresión:

(j)

multiplicando la ecuación (j) por ( 2 / X2 )F(x) y expresándola en forma de integrales, se obtiene lo siguiente:

(k)

En esta expresión, en el primer miembro de la igualdad, la cantidad encerrada entre paréntesis es una matriz diagonal 1, sech(PY1) se representará con la letra X; en el segundo miembro de la igualdad, el primer término es un vector que se denominará S y, el segundo término es la transpuesta de la matriz Z. Entonces la ecuación (j) puede expresarse de la siguiente manera:

X C = S + Z^T ( E - H ) (2)

Sustituyendo las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación (f), se obtiene la siguiente expresión:

(L)

multiplicando la ecuación (L) por (2 / X2-X1)G(x) y expresándola en forma matricial, se obtiene lo siguiente:

(m)

simplificando la expresión de esta ecuación:

esta es una matriz diagonal 1

bajo estas consideraciones, la ecuación (m) puede expresarse de la siguiente manera:

Sustituyendo las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación (j), se obtiene lo siguiente:

(n)

multiplicando la ecuación (n) por (2 / X2 - X1)F^T(x) y expresándola en forma de integrales:

haciendo la siguiente simplificación:

entonces, la ecuación (o) puede ser expresada de la siguiente forma:

Se puede crear con las ecuaciones (1) (2) (3) y (4) el siguiente sistema de ecuaciones:

este es un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, es necesario encontrar una quinta ecuación que relaciones a M con N.

De la ecuación (c), para y = Y3, se tiene lo siguiente:

(p)

multiplicando la ecuación (p) por (2 / X2)F^T(x) y expresándola en forma de integrales, se obtiene lo siguiente:

(q)

simplificando esta ecuación:

entonces la ecuación (q) se puede expresar de la siguiente forma:

M + N = R Þ M = R - N (5)

Sustituyendo la ecuación (5) en el sistema de ecuaciones, entonces, se obtiene el nuevo sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

a este sistema de ecuaciones, se le determinan la soluciones mediante el uso de cualquier método numérico, tal como el método se sustitución gaussiana.

Una vez determinado el valor de todas las constantes desconocidas, se sustituye sus valores en las ecuaciones (a), (b) y (c) y se grafican con el uso de cualquier software apropiado, tal como MATLAB.