Problema # 2
Cuando una persona tose, la tráquea se contrae. Sea :
Utilizar los principios de flujo de líquidos para determinar cuanto se debe contraer la tráquea para que se genere la velocidad de aire más grande posible, es decir, la condición mas efectiva para que se limpien los pulmones y la tráquea.
1. ro – r = aP
Durante la tos, la disminución de radio es casi proporcional al aumento en la presión de Aire.
2. V= bP + pr2
La velocidad del aire que pasa por la tráquea es proporcional al producto del incremento en la presión del aire por el área de la sección transversal de la tráquea.
Despejamos P en 1 para poder sustituir en 2
Sustituimos P en 2
Se eliminan paréntesis para simplificar la función:
El primer término se anula por que ro es una medida constante que al derivarse se anula.
Se iguala a 0 para saber su punto estacionario.
1.
2.
v’’=+ 2p
Determinar cual es el máximo para averiguar en que punto la ecuación tiene el valor máximo. Cuando la segunda derivada es negativo quiere decir que es el máximo de esta ecuación.
max(-2p )
Sabiendo que -2p es el máximo tomar el valor de r2 y evaluarlo en la ecuación original.
Suponiendo que las constantes fueran la densidad del aire estas se eliminan.
Tomando “V” como “y” y “r” como variable “x”. Tenemos que el radio durante la tos mide:
Donde r es el radio durante la tos y ro es el radio inicial de la tráquea.
