Parte III

Lógica de primer orden

Esta lógica tiene un alcance ontológico más amplio que la lógica propositiva. Considera que el mundo está constituido por:

• OBJETOS: perro, casa, guerra, año, etc.
• PROPIEDADES: verde, grande, larga, de madera, etc.
• RELACIONES: hermana de, sucedió luego de, alquila el, etc.
• FUNCIONES: padre de, amigo de, uno más que, etc.

La lógica de primer orden dota a sus usuarios de la libertad de describir todas las cosas de la manera que sea más apropiada para el dominio. Y es universal, en el sentido de que es capaz de expresar todo aquello que se pueda programar.

¿Por qué lógica de primer orden?

Se eligió el estudio de la representación del conocimiento y del razonamiento a través de la lógica de primer orden debido a que es hasta ahora el esquema que más se ha estudiado y se le conoce mejor.

Sintaxis y semántica

• Signos de constantes: en la interpretación respectiva deberá especificarse a que objeto del mundo se está haciendo referencia mediante el signo de una constante.
  Ejemplos: A, B, C, María, Lorena, ...
• Signos de predicado: una interpretación especifica que mediante un signo de predicado se hace referencia a una relación particular de un modelo. Las relaciones entre objetos se definen mediante un conjunto de Tuplas que las satisfacen.
  Ejemplos: Redondo, No Hermano, Hermano, Sucesor, Elemento, ... 
• Signos de funciones: Algunas relaciones son funcionales, es decir, un determinado objeto está relacionado justamente con otro objeto mediante la relación.
  Ejemplos: Una persona tiene exactamente otra persona que es su padre.
  Una persona bípeda tiene exactamente una pierna izquierda
  Un ángulo tiene exactamente un dado valor para su coseno
• Términos: Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. Por lo tanto, los signos de constante son términos. En algunos casos resulta más facil utilizar un signo de función que  un signo de constante.
  Ejemplo: PiernaIzquierdaDe(ReyJuan) se refiere a la pierna izquierda del rey Juan

Oraciones Atómicas

Ahora que ya contamos con términos para referirnos a objetos y signos de predicado para referirnos a relaciones, combinémoslos para formar oraciones atómicas, mediante las que se afirman hechos.

Hermano(Ricardo,Juan) afirma que Ricardo es hermano de Juan.

Es válido que una oración atómica tenga términos complejos como argumentos: 
Casado(PadreDe(Ricardo), MadreDe(Juan)) afirma que el padre de Ricardo está casado con la madre de Juan (dentro de una adecuada interpretación). 

Oraciones Complejas

Mediante los conectores lógicos se pueden construir oraciones más complicadas, como en el cálculo proposicional. La semántica de las oraciones formadas utilizando los conectores lógicos es idéntica a la del caso de las proposiciones. 

Mayor(Juan,50)\/ Menor(Juan, 20)
Hermano(Ricardo,Juan)/\ Hermano(Juan,Ricardo) 
Mayor(Juan,50) => ¬Menor(Juan, 20)
¬Heramno(Roberto, Ricardo) 

Cuantificadores
Los cuantificadores nos dejan expresar propiedades de colecciones de objetos en forma compacta.

Cuantificación universal

" es el cuantificador universal “para todo”

"x Gato (x) => Mamífero (x) equivale a:

Gato (Silvestre) => Mamífero(Silvestre) ^ Gato (Tom) => Mamífero (Tom) ^ Gato (Felix) => Mamífero (Felix) ^ ......

Cuantificación existencial

$ es el cuantificador existencial “existe”

$x Gato (x) => Mamífero (x)
 
Gato (Silvestre) => Mamífero (Silvestre) v Gato (Tom) => Mamífero (Tom) v Gato (Felix) => Mamífero (Felix) v ......

Cuantificadores anidados

En el caso de oraciones más complicadas, se utilizan más de un cuantificador en ellas. A veces se usan varios cuantificadores del mismo tipo
"x,yMadre(x,y) => Hijo(y,x)
Mezcla de cuantificadores: "x$yAma(x,y) "Todas las personas aman a alguien." <> $y"xAma(x,y) "Siempre hay alguien a quien todos aman."
El orden de los cuantificadores es muy importante.

Fórmula bien configurada

Antes de ser utilizada una variable, deberá introducirse un cuantificador.
$ y P (x) es una oración incorrecta porque x no está cuantificada.
El término fórmula bien configurada o fbc se emplea para calificar oraciones en las que todas sus variables se han introducido adecuadamente.

Igualdad

Para formular aseverasiones en las que dos términos se refieren a un mismo objeto se utiliza el símbolo de igualdad. Por ejemplo: 

Padre(Juan)=Enrique

está afirmando que el objeto al que hace referencia Padre(Juan) y al objeto al que alude Enrique son lo mismo.

Lógica de Orden Superior

Mediante la lógica de orden superior es posible cuantificar relaciones y funciones al igual que objetos. Por ejemplo es posible afirmar que dos objetos son iguales si y sólo si todas las propiedades que se le aplican son equivalentes:

"x,y(x=y) <=> ("p p(x) <=> p(y))

También es posible afirmar que dos funciones son iguales si y sólo si para todos los argumentos su valor es el mismo:

"f,g (f =g) <=> ("x f(x) = g(x))

Las lógicas de orden superior tienen más capacidad expresiva que la lógica de primer orden; sin embargo no se sabe mucho acerca de como razonar adecuadamente mediante la lógica de orden superior.

Expresiones funcionales y de predicado usando el operador l

En ocasiones resulta conveniente construir predicados y funciones complejos a partir de componentes sencillos. El operador l se utiliza para tal efecto. Por ejemplo para convertir el término x² -  y² en una función necesitamos decir cuales son sus argumentos, por lo que la función se expresa como sigue:

lx, y   x² -  y²

La aplicación de una expresión l de predicado a una determinada cantidad de argumentos produce una oración lógica.

El cuantificador de unicidad $!

No existe una forma concisa para afirmar la existencia de un objeto específico que satisface determinado predicado. Algunos autores emplean la notación

$!x Rey(x) para expresar que existe un objeto específico x que satisface Rey(x)

El operador de unicidad i

Aunque es conveniente emplear $! para especificar la unicidad, hay veces que es mejor disponer de un término que represente directamente el objeto específico. Para esto se utiliza i.

Muerto(i r Gobernante(r, Libertania)) lo cual expresa que el único gobernante de Libertania está muerto.

Uso de una lógica de primer orden
En la representación del conocimiento, un dominio es un fragmento del mundo acerca del que deseamos expresar un determinado conocimiento.

Dominio del parentesco
La madre de alguien es el progenitor femenino
El esposo de alguien es el cónyuge masculino
Masculino y femenino son disyuntos
Progenitor y progenie son relaciones inversas
Un abuelo es el progenitor del progenitor de alguien

Axiomas definifiones y teoremas
Los matemáticos crean axiomas para capturar los hechos básicos acerca de un dominio, para definir otros conceptos en función de tales hechos básicos y para utilizar los axiomas y las definiciones para demostrar teoremas.

Axiomas
Un axioma independiente es aquel que no se puede obtener a partir de otros axiomas.
Un axioma como " x, y P (x, y) º ... se conoce comúnmente como definición de P, porque sirve para definir exactamente para qué objetos P se cumple y para cuáles no.

Agentes lógicos para el mundo de wumpus
Consideraremos ahora tres arquitecturas de agente: 
agentes reflejos 
agentes basados en modelos 
agentes basados en metas 

Agente reflejo simple
El más sencillo de los agentes funciona mediante reglas que conectan directamente percepciones y acciones. Tales reglas se parecen a los reflejos o a los instintos. Por ejemplo, si el agente ve un resplandor, tiene que alargar la mano y tomar, para así recoger el oro.
"s,b,u,c,t Percepción({s,b,Resplandor,u,c},t ) => Acción(Tomar, T) 

Limitaciones
¿cómo haría para darse cuenta que es demasiado peligroso capturar el oro y en cambio trepar hacia afuera sin haber logrado la meta? 
Bucles infinitos

Como representar cambios en el mundo
Cualquier sistema que tome sus decisiones basándose en percepciones anteriores puede ser reelaborado para que en vez de tales percepciones utilice un conjunto de oraciones que se refieran al estado actual del mundo 

Calculo de situaciones
Mundo => una secuencia de situaciones
Cada una de las cuales => “instantánea” del estado del mundo 
Las situaciones se generan mediante acciones desde situaciones anteriores.

Resultado (Hacia delante, S0) = S1

Resultado (Dar vuelta (A la derecha, S1) = S2

Resultado (Hacia delante, S2) = S3