F es una superficie esférica a través de la cual fluye el campo V(r), r es un vector posición del diferencial dF respecto al punto 0, C es el contorno de la superficie F.

Esta es la componente del rotacional normal a la superficie F

Esta es la definición de Rotacional

Se subdivide la superficie dF en varias partes, las flechas indican la rotación del campo que las atraviesa.

Los aportes de los lados de contornos vecinos se anulan.

Solo afecta la integración el contorno "C " externo

La integral sobre cualquier especie en el espacio de los rotacionales del campo vectorial es equivalente a integrar el campo vectorial sobre el contorno limite de esta superficie.  

A(r) y B(r) son funciones vectoriales continues en el volumen V con primeras y segundas derivadas parciales continuas.

V(r) es un campo vectorial definido de la siguiente manera:

V = A x rot B

Se determinan las fuentes en el volumen "V" calculando lo siguiente:

Con la siguiente relación:

div( A x C ) = C rot A - A rot C

se obtiene el primer teorema de Stratton

PRIMER TEOREMA DE STRATTON

Si se hace un intercambio entre A y B, se obtiene lo siguiente:

Se hace la resta de esta ecuación con la del Primer Teorema de Stratton y se obtiene así el segundo teorema:

SEGUNDO TEOREMA DE STRATTON

er es perpendicular a la superficie cilíndrica.

ef es tangente a la superficie cilíndrica en la base de la misma.

e_z es perpendicular a la base del cilindro.

ECUACION DE DIFERENCIACION CARTESIANA:

u₁ = r , u₂ = f y u₃ = z

 Vectores unitarios

e₁ = er _, e₂ = ef y e₃ = e_z

x = r cosf , y = r senf y z = z

0 £ r < ¥ , -¥ < z < ¥ , 0 £ f 2p

r(x, y, z) = e_x x + e_y y + e_z z

r(x, y, z) = e_x r cosf + e_y r senf + e_z z

 Para u_i = r , entonces:

h_p² = cos² f + sen² f = 1

por lo tanto

h_p = 1

 Para u_i = j

r ² cos^2j + r ² sen^{2 j} = r ²

r ² ( cos^2j + sen^{2 j} ) = r ²

hj = r

Para u_i = z

h_Z = 1

h_p = 1, hj = r y h_Z = 1

Para u_i = r , entonces, h_p = 1, por lo tanto:

er = e_x cosf + e_y senf  5A

 Para u_i = f

hf = r

ef = -e_x senf + e_y cosf

Para h_z = 1 y u_z = z

e_z = e_z  5-C

dV = h₁du₁ h₂du₂ h₃du₃

dV ( r , f , z ) = r dr df dz

El campo vectorial V ( r , f , z )

V ( r , f , z ) = er Vr + ef Vf + e_zV_z

V ( r , f , z ) = (e_x cosf + e_y senf ) Vr + (-e_x senf + e_y cosf ) Vf + e_zV_z

V ( r , f , z ) = e_x (Vr cosf - Vf senf ) + e_y (Vr senf + Vf cosf ) + e_zV_z

V_x = Vr cosf - Vf senf

V_y = Vr senf + Vf cosf

 f = Función escalar

grad f =

Con f = er

e₂ = ef

e₃ = e_z

h₁ = 1, h₂ = r y h₃ = 1

h_p = 1, hf = r y h_Z = 1

V (r , f , z ) es una función vectorial en forma general.

h_{1 =} 1_, h_{2 =} r , h_{3 =} 1, V₁ = V_r , V₂ = V_f , V₃ = V_z, u₁ = r , u₂ = f , u₃ = z

V ( r , f , z ) = er Vr + ef Vf + e_zV_z

Vr =1, Vf = 0, V_z = 0 

Vr = 0, Vr = 1, V_z = 0

div e_f = 0

Vr = 0, Vf = 0, V_z = 1

div e_z = 0

Sólo existe un aporte al campo en la dirección r