EL VECTOR DE POYNTING Describe el ritmo de flujo de energía por unidad de área que transporta una onda electromagnética, es decir, la densidad superficial de potencia del campo electromagnético. Partiendo de la primera ecuación de Maxwell en la forma diferencial (la ley de Faraday), y multiplicándola por
E . rot H = E . G + E . dt (1)
Donde dt es la derivada parcial respecto al tiempo de D.
Ahora se toma la segunda ecuación de Maxwell en la forma diferencial (la ley de Ampere), y al multiplicarla por H, se obtiene la siguiente ecuación:
H . rot E = - ( H . bt ) (2)
Donde bt es la derivada parcial respecto al tiempo de B.
Restando las ecuaciones (1) y (2), se llega a la expresión siguiente:
E . rot H - H . rot E = E . G + E . dt + H . bt
Si F(z, t) = ½ E . D + ½ H . B, entonces:
E . rot H - H . rot E = E . G + ¦ t(z, t) (3)
Del álgebra vectorial se obtiene que
- div (E x H) = E . rot H - H . rot E
donde
g = E x H es el vector de Poynting. Como puede observarse, g es un vector ortogonal tanto a E como a H, además, la dirección en que la onda transporta la energía define su dirección de propagación.
El primer término del segundo miembro de la igualdad (3) se conoce como la densidad de la pérdida de potencia y se representa por "
pv".
De la electrostática se obtuvo que
D = x E y de la magnetostática se tiene que B = m H, entonces, el segundo término puede escribirse como
¶ ¤ ¶ t { (½) x |E|2 + (½) m |H|2 } = ¶ ¤ ¶ t { we + wm }
Donde
we es la densidad de energía eléctrica del campo y wm es la densidad de energía magnética.
Por lo tanto, la ecuación (3) puede ser expresada de la siguiente manera:
-div g = pv + ¶ ¤ ¶ t { we + wm } (4)
Considérese ahora la figura que se muestra a continuación:
La superficie F encierra un volumen v y es atravesada por un flujo de energía transportada por un campo electromagnético.
De la ecuación (4) se obtiene para todo el volumen v la siguiente expresión:
- ò ò ò v div g dv = ò ò ò v pv dv + ¶ ¤ ¶ t [ ò ò ò v { we + wm } dv ] (5)
el primer término del segundo miembro de la igualdad (5) es la potencia de pérdidas y se representa por Pv, es decir:
El segundo término del mismo miembro de la igualdad puede ser expresado de la siguiente forma:
Donde
We es la energía eléctrica almacenada en el campo y Wm es la energía magnética.
Del teorema de Gauss, puede deducirse que
este término representa a la potencia transportada a través de la superficie periférica
F del volumen v.
Ahora la ecuación (5) puede expresarse de la siguiente manera:
esta expresión indica que la potencia de pérdidas más la potencia que se transporta es igual a la disminución en el tiempo de la energía total dentro del volumen
v. Es decir, la disminución de la energía total dentro del volumen v es equivalente a la suma de las pérdidas de potencia y la potencia transportada a través de la superficie de contorno del volumen cerrado v.
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