GUIAS DE ONDA CILÍNDRICAS Solución de la ecuación diferencial dependiente de
Esta es la ecuación diferencial dependiente de
u1, u2.
(1)
en coordenadas cilíndricas, como ya se sabe, se cumple lo siguiente:
u1 = r , u2 = j , h = r ;
por lo tanto, la ecuación (1) queda expresada de la siguiente manera:
¶
2¤ ¶r 2 [ U(r , j) ] + (1/r) ¶ ¤ ¶r [ U(r , j) ] + (1/r )2 ¶ 2¤ ¶j 2 [ U(r , j) ] + b mn2 U(r , j) = 0 (2)
nuevamente, con el artificio del producto, se puede obtener la siguiente expresión:
U(r , j) = R(r)F(j) (3)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2) y multiplicándola por
r2/[R(r)F(j)], entonces, se obtiene la siguiente fórmula:
donde a la cantidad encerrada entre llaves se le puede denominar
m2 y el último término del primer miembro de la igualdad se le puede denominar -m2 para obtener las siguientes ecuaciones diferenciales.
(4)
(5)
La solución de la ecuación (4) está dada por la próxima expresión:
F
(j ) = B1cos(mj) + B2sen(mj) (6)
donde B1 y B2 son constantes desconocidas.
Multiplicando la ecuación (5) por 1/(r bmn)2, entonces, esta puede expresarse de la siguiente forma:
sustituyendo
rbmn por v, entonces esta ecuación puede escribirse como sigue:
(7)
esta expresión satisface a la ecuación diferencial de Bessel y su solución queda determinada por la siguiente fórmula:
R(r) = A1 Jm(r bmn) + A2 N(r bmn)
donde
A1 y A2 son constantes desconocidas, Jm(r bmn) corresponde a la función Bessel de primera clase y de orden m y, N(r bmn) es la función de Newman que, para este problema, es igual a cero. Por lo tanto, la solución de la ecuación (5) se expresa de la siguiente forma:
R(r) = A1 Jm(r bmn) (8)
Con las expresiones (6) y (8), se obtiene, con la ecuación (3), la solución general para U(r , j ):
U(r , j) = Jm(r bmn){ B1cos(mj) + B2sen(mj)} (9)
Como A1, B1 y B2 son constantes desconocidas, entonces, sus productos también son constantes desconocidas y, por lo tanto, no es necesario asignarle a estos productos letras diferentes que los identifique.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEPENDIENTE DE
z
Esta es la ecuación diferencial de
Z(z).
(10)
Sea
g*mn una nueva constante de onda dependiente de las variables de separación bmn y cuya expresión viene dada de la siguiente forma:
g
*mn = a*mn + jb*mn
Donde la parte real de
g*mn es la constante de atenuación y la parte imaginaria es la constante de fase. Esta constante de onda también está definida por la siguiente expresión:
(g
*mn)2 = -(b2 - bmn2) (12)
esta ecuación puede estar escrita como se muestra a continuación
g
*mn = j(b2 - bmn2)1/2
b
>b mn entonces g*mn es imaginario puro, esto hace que  e{g*mn} sea igual a cero. Con la ecuación (12) y bajo esta condición, se puede deducir lo siguiente:
b
*mn = (b2 - bmn2)1/2
y la onda no se atenúa, solo se propaga.
b
<b mn entonces g*mn es real puro, esto hace que Á m{g*mn} sea igual a cero. Con la ecuación (12) y bajo esta condición, se puede deducir lo siguiente:
a
*mn = (bmn2 - b2)1/2
y la onda solo se atenúa, no se propaga.
b
= b mn entonces g*mn es igual a cero. A este valor de b se le denomina constante de fase de corte
b
= 2 p ¤ l Þ bmn = 2 p ¤ l mnb
2 = w2 m x Þ bmn2 = wmn2 m x
donde
l mn es la longitud de onda de corte y wmn es la frecuencia de corte. La onda se propaga cuando w>wmn y cuando l mn<l mn, estas condiciones le dan a la guía de onda la propiedad del filtro pasa alta ya que permite que la onda se propague cuando su frecuencia es mayor a wmn. Mas adelante se sabrá por qué los subíndices m y n definen los modos de propagación.
Retomando, con la ecuación (12), la expresión (10) puede escribirse de la siguiente manera:
¶
2¤ ¶ z2 [Z(z)] = (g*mn)2 Z(z) (13)
Esta es la ecuación diferencial de una onda incidente y una onda reflejada, cuya solución es:
Z(z) = Â e{Č1 ejwt e-jg * z} + Â e{Č2 ejwt ejg * z} (14)
Donde el primer término del segundo miembro de la igualdad corresponde a la onda incidente y el segundo término corresponde a la onda reflejada.
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