GUÍAS DE ONDA RECTANGULARES Solución de la ecuación diferencial dependiente de
Esta es la ecuación diferencial dependiente de
u1, u2.
(1)
en coordenadas cilíndricas, como ya se sabe, se cumple lo siguiente:
u1 = x , u2 = y , h = 1;
por lo tanto, la ecuación (1) queda expresada de la siguiente manera:
(2)
nuevamente, con el artificio del producto, se puede obtener la siguiente expresión:
U(x , y) = X(x)Y(y) (3)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2), multiplicándola por
1/(X(x)Y(y)) y a la vez, haciendo bmn2 = bm2 + bn2, entonces, se obtiene la siguiente fórmula:
las siguientes expresiones satisfacen a esta ecuación diferencial:
entonces, la ecuación diferencial puede separarse en dos ecuaciones diferenciales:
(4)
La solución general de la ecuación (2) viene dada por la siguiente ecuación:
U(x, y) = (A1cos(bmx) + A2sen(bmx))(B1cos(bny) + B2sen(bny)) (5)
con bmn2 = bm2 + bn2.
Condición de frontera para la onda TE
La solución general en coordenadas cartesianas
U(x, y) para viene dada por la siguiente ecuación:
U(x, y) = (A1cos(bmx) + A2sen(bmx))(B1cos(bny) + B2sen(bny)) (5)
con bmn2 = bm2 + bn2.
En la figura pueden verse definidas las superficies x = 0, y = 0, x = a y y = b.
En el análisis hecho a las guías de onda en coordenadas curvilíneas, se obtuvo la condición de frontera para la onda TE:
¶¤¶
n [U(u1, u2)] = 0
donde n, como ya se sabe, es la dirección normal a la superficie metálica de la guía de onda.
Con la ecuación (3) y la solución (5) se obtiene las siguientes ecuaciones:
¶¤¶
x [U(x, y)] = Y(y)[ -A1bmsen(bmx) + A2bmcos(bmx) ]¶¤¶
y [U(x, y)] = X(x)[ -B1bnsen(bny) + B2bncos(bny) ]
Con estas ecuaciones, las condiciones de frontera para la onda TE en cada una de las superficies del ducto son las siguientes:
Para
x = 0:
¶¤¶
x [U(0, y)] = 0 Þ A2 = 0
Para
y = 0:
¶¤¶
y [U(x, 0)] = 0 Þ B2 = 0
Para
x = a:
¶¤¶
x [U(a, y)] = 0 Þ sen(bma) = 0 Ù \ bm = mp /a, con m = 1, 2, 3, ..., m.
Para
y = b:
¶¤¶
y [U(x, b)] = 0 Þ sen(bnb) = 0 Ù \ bn = np /b, con n = 1, 2, 3, ..., n.
Es necesario mencionar que en esta y en la condición anterior, se han determinado las funciones y valores característicos del sistema, también conocidos como las funciones y valores eigen respectivamente.
Bajo todas estas consideraciones, se obtiene, para la onda TE, la siguiente expresión para la función
U(x,y):
esta ecuación es el artificio del potencial para la onda TE de la guía de onda rectangular.
Solución de la ecuación diferencial dependiente de
z
Esta es la ecuación diferencial de
Z(z).
(6)
Sea
g*mn una nueva constante de onda dependiente de las variables de separación bmn y cuya expresión viene dada de la siguiente forma:
g
*mn = a*mn + jb*mn
Donde la parte real de
g*mn es la constante de atenuación y la parte imaginaria es la constante de fase. Esta constante de onda también está definida por la siguiente expresión:
(g
*mn)2 = -(b2 - bmn2) (7)
esta ecuación puede estar escrita como se muestra a continuación
g
*mn = j(b2 - bmn2)1/2
b
>b mn entonces g*mn es imaginario puro, esto hace que  e{g*mn} sea igual a cero. Con la ecuación (7) y bajo esta condición, se puede deducir lo siguiente:
b
*mn = (b2 - bmn2)1/2
y la onda no se atenúa, solo se propaga.
b
<b mn entonces g*mn es real puro, esto hace que Ám{g*mn} sea igual a cero. Con la ecuación (7) y bajo esta condición, se puede deducir lo siguiente:
a
*mn = (bmn2 - b2)1/2
y la onda solo se atenúa, no se propaga.
b
= b mn entonces g*mn es igual a cero. A este valor de b se le denomina constante de fase de corte
b
= 2 p ¤ l Þ bmn = 2 p ¤ l mnb
2 = w2 m x Þ bmn2 = wmn2 m x
donde
l mn es la longitud de onda de corte y wmn es la frecuencia de corte. La onda se propaga cuando w>wmn y cuando l mn<l mn, estas condiciones le dan a la guía de onda la propiedad del filtro pasa alta ya que permite que la onda se propague cuando su frecuencia es mayor a wmn. Mas adelante se sabrá por qué los subíndices m y n definen los modos de propagación.
Retomando, con la ecuación (12), la expresión (10) puede escribirse de la siguiente manera:
¶
2¤ ¶ z2 [Z(z)] = (g*mn)2 Z(z) (8)
Esta es la ecuación diferencial de una onda incidente y una onda reflejada, cuya solución es:
Z(z) = Â e{Č1 ejwt e-jg* Z} + Â e{Č2 ejwt ejg* Z} (9)
Donde el primer término del segundo miembro de la igualdad corresponde a la onda incidente y el segundo término corresponde a la onda reflejada.
Determinación del campo eléctrico de la onda TE
La expresión para el campo eléctrico de la onda TE es:
ETE = ez x grad ¶ ¤ ¶ t {WTE} (10)
Recordando que la onda se propaga en la dirección eje z.
La ecuación (6) puede aparecer escrita de la siguiente forma:
Â
e{ ĚTE ejwt }= ez x grad  e{ ¶¤¶t [ẄTE ejwt] }
hay que recordar que
ĚTE y ẄTE son funciones que dependen del espacio. Desarrollando esta ecuación se obtiene la forma del campo eléctrico de la onda TE para funciones armónicas:
Ě
TE = jw ez x grad ẄTE (11)
También es necesario recordar que el campo eléctrico de la onda TE no tiene componente en la dirección de propagación, por lo tanto, grad ẄTE solo tiene componentes en x y en y, entonces, de la ecuación (11) se obtiene lo siguiente:
Ě
TE = jw ez x (ex ¶¤¶x [ẄTE] + ey ¶¤¶y [ẄTE]) = jw(ey ¶¤¶x [ẄTE] - ex ¶¤¶y [ẄTE]) (12)
El potencial escalar de Buchholz está definido por la siguiente expresión:
Ẅ
TE(x, y, z) = UTE(x, y)e-jb mnZ (13)
Sustituyendo la ecuación (13) en la (12), se llega a la siguiente fórmula:
Ě
TE = jw ( ey ¶¤¶x [UTE (x, y)] - ex ¶¤¶y [UTE (x, y)] ) e-jb mnZ
La ecuación del artificio del potencial para la onda TE de la guía de onda rectangular es:
Entonces,
ĚTE queda descrito por la siguiente expresión:
Ě
TE = jwp Čmn {F(x, y) - G(x, y)} e-jb mnZ (14)
Con F(x, y) y G(x, y) definidas por las siguientes fórmulas:
(15)
La ecuación (14) junto con las ecuaciones (15), dan la función que describe al campo eléctrico de la onda TE.
Determinación del campo magnético de la onda TE
La expresión del campo magnético para la onda TE viene dada por la siguiente ecuación:
BTE = grad (ez grad WTE) - ez DWTE (16)
El segundo término del segundo miembro de la igualdad es un vector linealmente dependiente a
ez, lo que quiere decir que el campo magnético de la onda TE tiene una componente en la dirección de propagación de la onda.
La ecuación de onda del potencial escalar de Buchholz para la onda TE está expresada de la siguiente forma:
(17)
entonces, la ecuación (16) puede ser escrita de la siguiente manera:
considerando funciones armónicas, esta ecuación puede ser expresada como se muestra a continuación:
por lo tanto:
Recordando que el número de onda viene dado por
b2 = w2mx . De aquí se obtiene que la siguiente expresión:
(18)
desarrollando el gradiente:
(18-B)
En el análisis hecho a las guías de onda en coordenadas cilíndricas se propuso que Ẅ = U(u1, u2) Z(z), entonces, para la onda TE en coordenadas cartesianas:
Ẅ
TE = ŬTE Ž
Multiplicando a la ecuación (6) por
ŬTE(x, y) entonces se obtiene la siguiente expresión:
(19)
entonces la ecuación (18-B), al sustituir en ella a la ecuación (19), puede ser escrita como se muestra a continuación:
(20)
Con el potencial de Buchholz definido por la siguiente ecuación:
Ẅ
TE(x, y, z) = ŬTE(x, y)e-jb mnZ
y con la solución determinada para la ecuación (5):
(21)
esta es la ecuación que describe al campo magnético de la onda TE.
Condición de frontera para la onda TM
En el análisis hecho a las guías de onda en coordenadas curvilíneas, se obtuvo la condición de frontera para la onda TM:
UTM(u1, u2) = 0 (22)
En coordenadas cartesianas: u1 = x, u2 = y.
En la figura pueden verse definidas las superficies x = 0, y = 0, x = a y y = b.
U(x , y) = X(x)Y(y) (3)
U(x, y) = (A1cos(bmx) + A2sen(bmx))(B1cos(bny) + B2sen(bny)) (5)
con bmn2 = bm2 + bn2.
Con las ecuaciones (3) y (5), se obtiene las siguientes condiciones de frontera:
Para x = 0:
U(0, y) = 0 Þ A1 = 0
Para
y = 0:
U(x, 0) = 0 Þ B1 = 0
Para
x = 0:
U(a, y) = 0 Þ sen(bma) = 0 Ù \ bm = mp /a, con m = 1, 2, 3, ..., m.
Para
y = b:
U(x, b) = 0 Þ sen(bnb) = 0 Ù \ bn = np /b, con n = 1, 2, 3, n.
Es necesario mencionar que en esta y en la condición anterior, se han determinado las mismas funciones y valores eigen del sistema determinados con la condición de frontera de la onda TE.
Bajo todas estas consideraciones, se obtiene, para la onda TM, la siguiente expresión para la función U(x,y):
(23)
esta ecuación es el artificio del potencial para la onda TM de la guía de onda rectangular.
Determinación de la función que describe la forma del campo eléctrico de la onda TM
La expresión del campo eléctrico para la onda TM viene dada por la siguiente ecuación:
ETM = - ¶¤¶t { grad ( ez grad WTM) - ez DWTM } (24)
El segundo término la cantidad encerrada entre llaves es un vector linealmente dependiente a
ez, lo que quiere decir que el campo eléctrico de la onda TM tiene una componente en la dirección de propagación de la onda.
Considerando funciones armónicas, la ecuación (24) puede ser escrita de la siguiente forma:
Ě
TM = jw{ grad (- ¶¤¶z ẄTM) - ez b 2 ẄTM } (25)
Recordando que la ecuación de onda para funciones armónicas:
D
ẄTM = - b 2 ẄTM
con
b 2 = w2m x, que es la constante de fase.
Desarrollando el gradiente en la ecuación (25):
(25-B)
Es válida la siguiente expresión:
¶
2¤ ¶ z2 [ ẄTM ] = -( b 2 - b mn2 )ẄTM
entonces, con esta expresión, la ecuación (25-B) queda de la siguiente forma:
(26)
con el potencial de Buchholz dado con la siguiente ecuación:
Ẅ
TM = U(x, y)e-jb mnZ
y con la ecuación (23), se resuelven las derivadas parciales de la ecuación (26):
(27)
sustituyendo las ecuaciones (27) en la ecuación (26), se obtiene la expresión de la función que determina la forma del campo eléctrico de la onda TM en las guías de onda rectangulares:
(28)
Determinación de la función que describe la forma del campo magnético de la onda TM
La expresión para el campo magnético de la onda TM está dada de la siguiente forma:
BTM = - ez x grad DWTM (29)
La ecuación de onda para funciones armónicas:
D
ẄTM = - b 2 ẄTM
con
b 2 = w2m x, que es la constante de fase.
Entonces, la ecuación (29) queda expresada de la siguiente forma:
(30)
Desarrollando el gradiente en la ecuación (30), se llega a la siguiente expresión:
(31)
con el potencial de Buchholz dado con la siguiente ecuación:
Ẅ
TM = U(x, y)e-jb mnZ
y con la ecuación (23), se resuelven las derivadas parciales de la ecuación (31):
(32)
sustituyendo las ecuaciones (32) en la ecuación (31), se obtiene la expresión de la función que determina la forma del campo magnético de la onda TM en las guías de onda rectangulares:
(33)
Longitud de onda de corte
Es el valor de la longitud de onda máximo que por debajo del cual las ondas pueden propagarse a través de las guías de onda.
La longitud de onda de corte viene dada por la siguiente ecuación:
l
mn = ( 2p ¤ b mn )
con
bmn2 = bm2 + bn2, recordando que bm = mp ¤ a y bn = np ¤ b son los valores característicos del sistema, entonces, la expresión de la longitud de onda de corte queda determinada de la siguiente forma:
(34)
si la guía de onda es cuadrada, entonces, a = b, y la longitud de onda de corte queda determinada por la siguiente expresión:
Frecuencia de corte
La relación entre la frecuencia y la longitud de onda está expresada en la siguiente ecuación:
fmn = c/l mn
donde c es la velocidad de la luz, que es aproximadamente 300.000km/s.
Entonces, de la ecuación (34) se tiene, para la frecuencia de corte:
(34-B)
como puede observarse, la longitud de onda depende de los factores geométricos de la guía de onda y del modo de propagación.
Modo de propagación
Está determinado por el vector
<m, n>, con m = 1, 2, 3, ... y n = 1, 2, 3, ... Con el modo de propagación se puede determinar la longitud de onda, la frecuencia y las líneas de los campos transversales eléctrico y magnético, respectivamente, dependiendo de la geometría del sistema.
Por ejemplo, se pide determinar la longitud de onda de corte y la frecuencia de corte de una onda que se propaga en una guía cuadrada de lado 2cm con un modo de propagación <1, 1>. De la ecuación (34-B) se puede determinar que la frecuencia de la onda debe estar por encima de los 10.6GHz para que pueda propagarse. Bajo esta condición, con la ecuación (34) se determina que la longitud de onda no debe alcanzar los 2,82cm.
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