DETERMINACIÓN DE LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO DE LA ONDA TE En la figura se muestra una línea de campo eléctrico. 
dr y E son dos vectores paralelos y son tangentes a la línea de campo.
La ecuación diferencial de la línea de campo es la siguiente expresión:
dr x E = 0 (1)
En un sistema de coordenadas curvilíneas:
dr = e1 h1 du1 + e2 h2 du2 + e3 h3 du3
E = e1E1 + e2E2 + e3E3
Entonces, resolviendo la ecuación (1):
dr x E = e1 ( h2 du2 E3 - h3 du3 E2 ) - e2 ( h1 du1 E3 - h3 du3 E1 ) + e3 ( h1 du1 E2 - h2 du2 E1 ) = 0
recordando que
0 es el vector nulo, entonces, de esta ecuación se deduce lo siguiente:
h2 du2 E3 = h3 du3 E2; h1 du1 E3 = h3 du3 E1; h1 du1 E2 = h2 du2 E1
por lo tanto:
extrapolando esta conclusión al sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, conde
h1 = h2 = 1 y, du1 = x y du2 = y:
(2)
La función que describe al campo eléctrico de la onda TE es la siguiente:
Ě
TE = jwp Čmn [F(x, y) + {-G(x, y)}] e-jb mnZ
Con
F(x, y) y G(x, y) definidas por las siguientes fórmulas:
en la ecuación (2),
Ex = | F(x, y) | y Ey = -| G(x, y) |, entonces:
(2-B)
es posible hacer el siguiente cambio de variable:
e
= mp x / a (a1)h
= np y / b (a2)
entonces, la ecuación (2-B) queda determinada de la siguiente manera:
(2-C)
agrupando los términos que contengan la misma variable:
al integrar ambos miembros de la igualdad, se obtiene la siguiente expresión:
-ln(cose ) = ln(cosh ) + p' (3-A)
donde p' es una constante que resulta de la suma de las dos constantes de integración de los dos miembros de la igualdad. Entonces, de la ecuación (3-A):
-p' = ln(cose ) + ln(cosh ) (3-B)
es posible afirmar que -p' = ln p, entonces, es válida la siguiente proposición:
ln p = ln(cose ) + ln(cosh ) Þ p = cose cosh (3-C)
por lo tanto, con las ecuaciones (a1) y (a2), la expresión de p en términos de x y de y es:
(3)
Para simplificar los cálculos, tómese el modelo de guía de onda mostrado en la figura, las dimensiones de su sección transversal es ancho = a/m y alto = b/n. Con este modelo se trabajará de ahora en adelante.
En esta figura quedan definidas las siguientes superficies:
x = 0, x = a/m, y = 0 y y = b/n.
Bajo estas consideraciones y con la ecuación (3), se puede determinar el valor de p en las superficies de contorno de la guía de onda rectangular:
x = 0 Ù y = 0 Þ p = 1
x = 0 Ù y = b/n Þ p = -1
x = a/m Ù y = 0 Þ p = -1
x = a/m Ù y = b/n Þ p = 1
Determinación de la trayectoria de las líneas del campo eléctrico de la onda TE
Considerando la definición del flujo magnético:
y
m = ò ò F BTE · dF
Es necesario mencionar que el flujo magnético a través de la guía de onda en la dirección de propagación es constante en toda su trayectoria aunque su sección transversal no sea constante, esto implica que el flujo en la entrada y en la salida de la guía de onda es el mismo y que por lo tanto el flujo neto es cero.
La componente del flujo magnético de la guía en la dirección de propagación es:
y
m = ò ò BZ(x, y)dxdy (4)
donde
dxdy define el área de un diferencial de superficie de la sección transversal de la guía de onda rectangular.
La función de describe al campo magnético de la onda TE es la siguiente:
la componente en la dirección de propagación es, al hacer
Čmn = 1:
tomando en cuenta sólo la parte real de esta expresión:
(5)
Y
(x0) es el flujo magnético inicial a través de la superficie F de la figura con Čmn = 1.
Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4):
De las ecuaciones (a) se obtienen las siguientes ecuaciones:
dx = (mp /a)de ; dy = (np /b)dh
entonces, el flujo magnético a través de la superficie
F puede expresarse de la siguiente forma:
(6)
con
e
0 = (mp ¤ a)x0 (b1)h
(e ) = (np ¤ b)y(x0) (b2)
De la ecuación (6) se tiene lo siguiente:
(7)
Con la ecuación (b1), se obtiene la constante de integración P0 en x0:
P0 = cos(e 0)
Entonces, con la ecuación (3):
P0 = cos(e0) = cos(e)cos(h(e)) (8-A)
Por lo tanto:
cos(h (e )) = cos(e 0)/cos(e ) (8-B)
con esta expresión y la siguiente identidad:
sen2(h (e )) + cos2(h (e )) = 1
se obtiene la siguiente expresión:
(9)
sustituyendo (9) en (7):
(10)
Con el objetivo de tener p ¤ 2 en el límite superior de la integración, se usa el siguiente artificio:
cos2(e ) = 1 - sen2(e 0)sen2(u ) (11)
donde u es la nueva variable de integración:
e
= e 0 Ù cos2e 0 + sen2e 0 = 1 Þ u = p ¤ 2e
= 0 Ù sen2e 0 ¹ 0 Þ u = 0
de la ecuación (11):
[De {cos2(e )}]de = [Du {1 - sen2(e 0)sen2(u )}]du
calculando las derivadas:
cos(e )sen(e )de = sen2(e 0)sen(u )cos(u )du (11-B)
Es válida la siguiente identidad:
cos2(e 0) + sen2(e 0) = 1
entonces, con la ecuación (11), se obtiene la siguiente ecuación:
sen
(e ) = sen(e 0)sen(u )
con la ecuación (11-B) se llega a la siguiente expresión:
cos(e )de = sen(e 0)cos(u )du (11-C)
De la ecuación (11) se tiene lo siguiente:
cos(e ) = [1 - sen2(e 0)sen2(u )]1/2
sustituyendo esta ecuación en la (11-C):
(12)
Sustituyendo las ecuaciones (11) y (12) en la ecuación (10):
con
cos2(e 0) = 1 - sen2(e 0) y sen(u ) = (1 - sen2(u ))1/2:
con
sen2(e 0) = 1 - cos2(e 0):
(13-A)
el primer término del segundo miembro de la igualdad puede ser denotado con E(sen(e 0)) y, con la ecuación (8-A), el segundo término se puede denotar con po2K(sen(e 0)), por lo tanto:
y(e 0) = E(sen(e 0)) - po2 K(sen(e 0)) (13-B)
Con la ecuación (8-A) se puede realizar la siguiente definición:
k
= sen(e 0) = (1 - cos2(e 0))1/2 = (1 - p02)1/2 Þ p02 = 1 - k 2 (13-C)
entonces, la ecuación (13-B) queda expresada de la siguiente manera:
y(e 0) = E(k ) - (1 - k 2) K(k ) (14)
Sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (6):
(15)
con la ecuación (14):
(16)
esta es la expresión del flujo magnético en la superficie F.
Determinación del flujo en el plano
z = 0
Con la ecuación (6) se obtiene la expresión del flujo magnético en el plano
z = 0:
con
e
0 = (mp ¤ a)x0 (b1)h
(e ) = (np ¤ b)y(x0) (b2)
Sea
y 0 el valor del flujo magnético de referencia a través de la superficie rectangular (a/2m)(b/2n) mostrada en la figura, entonces:
(17)
Para finalizar esta parte, se obtiene para la ecuación de las líneas de campo eléctrico que contiene el flujo parcial normado a y 0 que atraviesa el punto (xo, 0, 0) de la superficie F:
y
(x0)/y 0 = [E(k ) - (1 - k 2) K(k )]cos(b *mnz) (18)
con
b *mn = 2p ¤ l *mn. y (x0)/y 0 puede denotarse con la letra c y la cantidad encerrada entre paréntesis puede denotarse con f(k ), por lo tanto:
c = f(k )cos((2p ¤ l *mn)z) (19)
Por otro lado, la constante de integración de la ecuación (3), sustituyendo las ecuaciones (a1) y (a2) en la (8-A) y a esta en la ecuación (13-C):
De la ecuación (13-C) con la ecuación (b1) con
m = 1:
p
(xo/a) = arcsen(k )
de la ecuación (19):
z/l *mn = (1/2p ) arccos(c/f(k )) (20)
determinación del módulo de k
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