Bu problem
konusunda bilinen tek şey vardır ki, o da kökeninin sırlarla örtülü
olduğudur. Aslında problemin genel kabul görmüş bir ismi bile yok.
Bazıları ona 3N+1 problemi diyor. Collatz adı, 1930 larda problemin
yaratıcısı olduğu söylenen Lothar Collatz 'dan gelmektedir. Peki
nedir bu problemin özelliği? Problemin tanımlamalarının oldukça
kolay olmasına karşın hem daha çözülmemiştir, hem de (günümüzün
en iyi matematik beyinlerine göre) uzun yıllar boyu çözülmeden
kalması olasılığı vardır.
Dolu tanesi sayıları aşağıda verilen çok kolay bir yolla elde
edilirler. Bir sayı düşünün, sayı tek ise 3 ile çarpıp 1
ekleyin; çift ise 2 ye bölün. Ve elde ettiğiniz her sayı için bu
kuralı tekrar tekrar uygulayın. Bunu bir kaç sayı ile tekrar tekrar
deneyin ve sonuçta ne olduğuna bakın. Mesela biz şimdi 1, 2 ve 3 için
ayrı ayrı deneyelim;
1,4,2,1,4,2,1,4,2, ...
2,1,4,2,1,4,2,1,4,2, ...
3,10,5,16,8,4,2,1,4,2, ...
Bunların hepsi kısa sürede aynı 1,4,2,1,4,2 döngüsüne giriyorlar.
İsterseniz daha büyük bir başlangıç sayısı seçin, mesela 7;
7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1, ...
Bu
sefer dizi biraz daha uzayıp 52 gibi bir maximum noktasına ulaştıktan sonra
yine o döngüye takılıp kaldı. Şimdi yanıtlanması gereken soru
şudur; "Bütün bu diziler, başlangıç sayıları ne olursa
olsun, bu şekilde mi sonuçlanırlar?". Ben bu yazıyı yazdığım
ve internete sunduğum sırada bu sorunun yanıtı henüz bulunmuş değil.
Yapacağınız çalışmalar sırasında, Kuralın her sayı için doğru
olduğunu göstermek için bir genelleştirilmiş yöntem bulurken, yada
kuralı, tabiri caizse, "delen" bir sayı bulmaya çalışırken sizlere yardımcı
olabilecek bir kaç nokta göstermek istiyorum; Denemeler yaparken tüm
sayıları denemenize gerek yok. Mesela çift sayılar ilk adımda hemen
2 ye bölünüp, sonuçta bir veya birkaç adımda bir "tek"
sayıya ulaşılacağından, çift sayıları denemeniz gerekmiyor. Ayrıca
denemiş olduğunuz bir sayı dizisinde herhangi bir adımda ortaya çıkan
bir sayıyı da yeniden denemenize gerek yok. Mesela yukarıda 7 yi başlangıç
sayısı olarak alıp yaptığımız denemeye bakarak, 2. adımda elde
ettiğimiz 11 için veya 4. adımda elde ettiğimiz 17 için ayrıca
deneme yapmamız gerekmiyor, zira sonuçta 4,2,1,4,2,1 döngüsüne takıldığı
görülüyor.
|
