|
.::
İSPAT TEKNİKLERİ ::.
Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç
estetiğe sahip ispatlara dayanır. Zaten matematiği ispat
ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir.
Bu sebeple Matematikce sitemin bu bölmünü ispat
tekniklerine ayırmak istedim. Çeşitli ders notlarımdan
ve kitaplardan derlediğim bu çalışmayı lise düzeyinde
bilgiye sahip bir öğrencinin anlayabileceği seviyeye
getirerek, üniversite hayatına yeni atılacak olan gençlerin
de bu heyecanı yaşamasını hedefledim.
İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında
toplayabiliriz:
-
Doğrudan
İspat
-
Ters
Durum İspatı
-
Olmayana
Ergi (Çelişki) yöntemi
-
Tümevarım
ile ispat
Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte
inceleyelim.
.::
1 - Doğrudan İspat : En
bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat
tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar
aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır.
Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak
istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu
teknik genel olarak;
P --> Q (P ise
Q)
Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru
olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu
elde edilir.
Örnek
1
: Bir
tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.
İspat
1
: Önce
m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da
belitildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift
olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz.
Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz.
m tek ve n de çift olduğundan;
m
= 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları
vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları
2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
m + n =
2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur. a ve b
tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k
gibi bir tamsayı dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
Yani
m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek
sayı olmalıdır. İspat tamamlanır.
Örnek
2
: Bir
tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir.
İspat 2
: Bir a
tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul
edelim. O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde
yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir
tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir
mi diye bakacağız. 2 katını alırsak;
2a = 2.6k = 12k
olur.
Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz.
O zaman;
2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur.
k bir tamsayı
olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla
buna m gibi bir tamsayı dersek;
2a = 4.(3k) = 4m olur.
Bu
da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini
gösterir. Böylece ispat tamamlanır.
Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü
gibi ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasına karşın
bize her zaman yardımcı olamayabilir. Mesela "Karesi
çift olan bir sayının kendisi de çifttir" şeklindeki
bir önermenin ispatını bu yöntemle vermek oldukça güçtür.
Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir. Sıradaki
ispat tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar dönüp,
ispatının nasıl yapılabileceğini açıklamaya çalışacağım.
.::
2 - Ters Durum İspatı : Bu
ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil ise
P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu
ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize verilen
kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine,
istenilenin olmaması (değilinin olması) durumunda,
kabullerimizin de olamayacağını (yani değillerinin doğru
olması gerektiğini) göstermeye
dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği örnekler üzerinde
daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi
bu yöntemle ispatlamaya çalışalım;
Örnek
3 :
Karesi
çift olan bir sayının kendisi de çifttir.
İspat
3 : Burada
P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q
dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması
yani;
P = a sayısının karesi çifttir.
Q
= a sayısının kendisi çifttir.
(hatırlatma : bize
verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul
edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk
ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik.
Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin
de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek
istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek
ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat
edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını
doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu
ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir"
ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de
tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim.
a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için
a yı;
a = 2k + 1 oarak yazabiliriz.
a nın karesinin
tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak;
a2 = 4k2 +
4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.
ve k2 +
k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
a2
= 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1
2m
ifadesine de t dersek;
a2
= 2t +1 olur.
Bu da bize a2 nin tek olduğunu
gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de
mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi
çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini
söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme
göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. Bu ispat
yönteminin kullanılabileceği başka örnekler de vermeye
çalışalım;
|
