|
.::
İSPAT TEKNİKLERİ ::.
Örnek
4
: Eğer
bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir.
İspat 4 : Bizden
soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor.
Ters durum ispat tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak;
P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0
olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de
olamayacağını yani; x+1<0 ise x<0 olması gerektiğini
göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne
almıyoruz çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı
sağladığı aşikardır). Öyleyse elimizde şimdi
x+1<0 kabulü var.
x+1<0 ise
x<-1 ve -1<0 olduğundan
x<-1<0 yani x<0 dır.
Böylece
x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını
gösterdiğimizden x>0 olduğunda x+1 mutlaka x+1>0 şartını
sağlamalıdır diyebiliriz.
Örnek 5
: X.Y
tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir.
İspat
5 : Ancak
ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki
taraflı ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu
kabul edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y tek sayı ise
X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim.
Bunu ters durum ispatı ile gösterelim.
(==>)
P = X.Y nin tek
sayı olması
Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması.
Burada
tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P
nin değilini elde etmemiz gerekir. Sizin de gördüğünüz
gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır. Yani X
ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya
ikisinin de çift olması ya da birinin çift diğerinin tek
olması durumunu getirir. Önce her ikisinin de çift olması
durumunu inceleyelim;
-- X ve Y her ikisi de çift
ise öyle A ve B tamsayıları için
X = 2A ve
Y = 2B olsun. Öyleyse;
X.Y = 2A.2B = 2(A.2B)
ve
A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y =
2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur.
Öyleyse X.Y
çifttir. X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde
X.Y nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın
bu bölümü tamamlandı.
-- X tek ve Y çift
olması durumunu ele alalım. Öyleyse uygun A ve B tamsayıları
için;
X = 2A+1 ve Y = 2B olsun.
X.Y
= (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur.
Yine 2AB + B
sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı
dersek;
X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur.
Yani yine X.Y nin
bir çift sayı olduğunu bulduk.
Öyleyse ters
durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y
nin çift olması veya birinin çift diğerinin tek olası
durumlarında P nin değili yani X.Y nin çift olaması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır.
Şimdi de ispatın diğer yönünü yani, sağ tarafın doğru
olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim. Söz ile
ifade edersek X ve Y nin her ikisinin de tek olması
durumunda X.Y nin de tek olacağını göreceğiz.
(<==)
Bu tarafı göstermek
için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan
ispat yöntemi daha uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek
olduğunu kabul ederek X.Y nin de tek olması gerektiğini göstereceğiz.
X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için;
X
= 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun.
X.Y = (2A +
1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1
Burada
yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C
dersek;
X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır.
Buradan
da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur. Öyleyse doğrudan
ispat tekniğiyle de ispatın bu yönünü göstermiş
bulunuyoruz.
Her iki yönden de önermenin doğruluğunu
gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış bulunuyoruz.
Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri
ispatlamak için birden fazla ispat tekniğini kullanmamız
gerekebiliyor. Her ispat tekniğinin kendine göre getirdiği
kolaylıklar bulunmaktadır. Şimdiye kadar görmüş olduğumuz
doğrudan ispat ve ters durum ispatından başka
"olmayana ergi" adı verilen bir diğer ispat yöntemini
de ifade etmeye çalışalım;
|
1. Sayfa
