|
.::
İSPAT TEKNİKLERİ ::.
.::
3
- Olmayana Ergi (Çelişkiyle
ispat)
Tekniği
: Bu ispat tekniğinde hipotez aynen alınırken, hükmün
bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır.
O zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek
ispat yapılır. Bunu örnekler ile görelim.
Örnek
6
: Kendi kenisiyle toplandığında kendisini veren
sayı sıfırdır.
İspat
6
: Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden
x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik
ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı
durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım.
Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun.
Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x
olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz
biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek;
x
= 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden
dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan
farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi
yapamazdık).
1 = 2 sonucu elde edilir. Bu
ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı
almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır.
Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış
oldu.
Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul
ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık.
Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir.
Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla
görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle
bir önerme seçtim.
Örnek
7
: 
sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin.
İspat
7
:
Önermede
bizden
sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz
isteniyor. Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım.
Tekniğe göre hükmü olumsuz kabul edelim, yani
sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çalişkiye
varalım. O zaman
sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının
oranı şeklinde yazabiliriz. (Not: p ve q nun tek ortak böleninin
1 olması p/q nun bir tamsayı değil rasyonel sayı olmasını
ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile sadeleştirilemeyeceğini
verir). Yani
= p/q diyebiliriz. Her iki tarafın da karesini alalım. 2 =
p2/q2 olur. Her iki yanı q2
ile çarparsak;
2q2 = p2
olur. Öyleyse buradan p2 nin bir çift sayı
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman 3 nolu örnekte ispatladığımız
sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.
p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n
olarak alalım.
2q2 =
p2 bulmuştuk. p nin 2n olan değerini
burada yerine koyarsak;
2q2 =
p2 = (2n)2 = 4n2
olur. Yani 2q2 = 4n2 dir. 2
leri sadeleştirirsek;
q2 = 2n2
olur. Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir.
Öyleyse yine 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu
kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.
q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m
olarak yazabiliriz.
Bir önceki adımda da p=2n olarak
bulmuştuk. Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve q nun 2
gibi bir ortak böleni vardır. Ancak başta p ve q nun tek
ortak böleninin 1 olduğunu söylemiştik. Bu durumda bir
çelişki karşımıza çıkmıştır. Bu çelişkinin
nedeni
yi rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1
olan p ve q tamsayılarını kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan
kaynaklanmaktadır. Öyleyse
sayısı rasyonel bir sayı olmaz, yani irrasyoneldir.
Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen
farklı olarak hipotezin olumsuzu yerine bir çelişkiye
varmaya çalışıyoruz. Bu ispat tekniklerinden farklı
olarak bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır. Şimdi
bu tekniği açıklayıp örnekler verelim.
.::
4 -
Tümevarım İle İspat
Tekniği
:
En çok
bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden biridir. Bu
teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının
sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda, bir p özelliğinin
"1" için var olduğu gösterilir. Sonra k için
özelliğin var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin
ispatı yapılır.
k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1
için ispatın sağlandığını ilk adımda göstermiş
olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul
etmemiz yanlış bir kabul olmayacaktır. Sonra k+1 için sağlandığını
ispatladığımızdan 2 için de sağlandığı gösterilmiş
olur. Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek
k+1 yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından
yine aynı mantıkla 4 için de sağlanacak ... ve bu şekilde
genel bir ispat yapılmış olacaktır. İlk başlangıç adımının
her zaman "1" olması zorunlu değildir, "3
ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını gösterin"
gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da
seçebiliriz. Sonra yine aynı şekilde k için doğru olduğunu
kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı
genelleriz. Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok
önerme bulunmaktadır. Şimdi bunlara bir kaç örnek
verelim.
|
2. Sayfa
