Cuando un electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él fuerzas electrostáticas que hacen variar su cantidad de movimiento, la partícula se acelera al acercarse al núcleo atómico y se desacelera al alejarse de él. Este constante cambio de su energía cinética es compensado con un aumento o disminución de su energía potencial de acuerdo a la distancia de la partícula con respecto al núcleo, se establecen por lo tanto niveles de energía potencial que delimitaran el movimiento de las partículas a través de la red.

En una red cristalina el potencial se distribuye periódicamente, en un cristal su distribución es tridimensional en el volumen del cuerpo. Se considera la energía potencial cero para una partícula completamente desligada del núcleo, pero aumenta rápidamente al acercarse a él, de manera que estando en un nivel de energía como él se encontrara atrapado en regiones debido a la imposición de las barreras de potencial.

A medida que el electrón se encuentra en niveles energéticos superiores, las bandas permitidas se hacen más amplias y puede moverse con facilidad hasta el punto en las diferentes bandas adyacentes se superponen y el electrón puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. Las bandas superpuestas en donde los electrones pueden moverse libremente son llamadas bandas de conducción en la que se encuentra fijos se denominan bandas de valencia; los electrones de la banda de valencia pueden pasar a la banda de conducción si se le suministra energía suficiente.

Los electrones que se encuentran en las capas inferiores a la banda de conducción son llamados electrones de valencia, los que se encuentran en la banda de conducción son considerados electrones libres.

- El modelo de Bandas de energía es tratar al electrón dentro del cristal como una partícula libre, con una masa especial denominada Masa Efectiva.

- Hay una repetición periódica del campo potencial.

- Si el electrón se acerca al núcleo se acelera y se aleja se desacelera, esto se mantiene hasta caer en la influencia del campo potencial del próximo núcleo.

- El campo de energía potencial del cristal es periódico.

- El principio de Exclusión de Pauli, prohibe ocupar un nivel de energía, por más de dos electrones con diferente Spin.

Los niveles de energía se desdoblan formando bandas de energía.

Es posible realizar un modelo matemático del comportamiento de los electrones dentro de un cristal mediante una aproximación .

Consideremos un electrón único que se desplaza a través de la red de tal manera que en la región I Ep = 0 y en la región II Ep = ¥ . El movimiento de la partícula esta determinado por la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que es:

- El campo potencial del cristal es periódico, se puede describir por funciones periódicas:

u(x) es, entonces, una función de Bloch periódica

- u(x), altera la función onda f (x) en su amplitud, la solución, son del tipo:

f (x) = u(x) e^jKx

La Ecuación de Schrödinger:

Soluciónes:

u(x) = Función de Bloch

Representa la periodicidad de la red

f (x) = u(x) e^jKx

Condición Ep(x) = 0

Para la ecuación de Schrödinger :

f _I(x) = u_I(x) e^jKx

Tenemos la ecuación:

Para la Ecuación de Schrödinger:

f _II(x) = u_II(x) e^jKx

se obtiene la ecuacion diferencial

u_I(x) = a e ^{j (a - K) x} + B e ^{-j (a + K) x}

u_II(x) = C e ^{j (b - K) x} + e ^{-j (b + K) x}

Las ecuaciones restantes, se obtienen de las condiciones de continuidad en los limites de las regiones, la función u(x) y ¶ u/¶ x debe ser continua en los limites de las regiones.

Condiciones para X=0

u_I(0) = u_II(0)

Condicion X = - b , X = 0

u_I(a) = u_II(-b)

Al solucionar estas ecuaciones se obtiene un sistema de 4 ecuaciones de 4 incógnitas:

N = Número de átomos

Valido para E < Eo

1.- El primer miembro es una relación trigonométrica.

2.- El segundo miembro es una función armónica válida entre + 1 y –1.

3.- El tercer miembro puede dar valores mayores que 1.

Para E > Eo

Con la relación 8

entonces, b = jg , es imaginarlo.

senh jg b = jsen g b

cosh jg b = cos g b

Para E > Eo

- Se obtiene bandas, donde los valores energéticos son permitidos.

- Bandas donde no son permitidos los valores energéticos o bandas prohibidas.

Del modelo de Kronig – Penney se puede hacer la siguiente simplificación.

E_o ® ¥ con b ® 0 Þ E_{o b} es constante

a @ L y b b = 0

senh b b @ b b

cosh b b @ 1

b ² >> a ²

Entonces:

b ² = E₀

a = L

h (a L) = cos (KL)

- La velocidad de la partícula es la de grupo.

- El paquete de ondas transporta la energía de la partícula.

F = Fuerza externa ejercida

m = masa de la partícula.

Vg= Velocidad de grupo.

a = Aceleración.

La partícula en el cristal:

- Es una magnitud no determinada.

- Depende de múltiples variables: temperatura, material, campo aplicado entre otros.

- No se puede modelar matemáticamente con exactitud.

m^* es la masa efectiva

Se define:

Determinación de la masa efectiva:

Por lo tanto la masa efectiva es:

- La partícula se acelera en el sentido de los electrones (Este es el concepto de electrón), las bandas de energía son cóncavas. 

La partícula se acelera en sentido contrario de los electrones (Este es el concepto de hueco de acuerdo a la Mecánica Cuántica), Las bandas de energía son convexas.

La dependencia de la energía respecto al vector de onda K, depende de la orientación de los planos del cristal y de la dirección en el cristal.

El germanio (Ge) y el silicio (Si), son denominados semiconductores de banda de energía indirecta porque sus mínimos energéticos en la banda de conducción para, los electrones, están alejados del valor K=0; mientras que semiconductores como el arseniuro de galio (AsGa) son denominados semiconductores compuestos o de banda de energía directa porque sus mínimos energéticos en la banda de conducción están justo en el valor K=0.

En la figura se muestra lo esplicado anteriormente:

El ancho de la banda prohibida del germanio es de 0.7eV, el del silicio es de 1.11eV y el del arseniuro de galio es del 1.4eV.

La ecuación de Schröedinger tiene soluciones para valores discretos de energía en el caso de la partícula libre.

Existe en el cristal un gran número de átomos que interactúan y que están distribuidos periódicamente, por lo tanto, la energía potencial del electrón es periódica.

Así como los átomos interactúan entre sí, también lo hacen los niveles de energía y se desdoblan en tantos niveles como átomos existan en el cristal formando las bandas de energía.

Cuando x tiende a infinito, la energía toma valores discretos

Cuando x es muy pequeño, entonces, los niveles se convierten en bandas de energía.

Se crea el siguiente modelo:

Eg es la barrera de energía de la banda prohibida

La banda de energía define el tipo de material