| Gradient
Gerek
Gradient ve gerekse Divergence gibi diğer ifadeleri açıklamadan
önce, bu konuda sıkça kullanacağımız bir operatör
olan Dell operatöründen bahsetmek istiyorum;
 Şeklinde
gösterebileceğimiz Dell operatörü skaler veya vektörel
fonksiyonlara uygulayabileceğimiz bir türev alma operatörüdür.
Konuda ayrıntılı bir şekilde gösterileceği üzere Dell
operatörünü bir skaler fonksiyon ile veya vektörel bir
fonksiyon ile skaler olarak çarparak veya bir vektörel
fonksiyon ile vektörel olarak çarparak çeşitli tanımlamalar
yapabiliriz. Bu tanımlamalardan ilki Gradienttir. Bir
skaler fonksiyonun Dell operatörü ile skaler olarak çarpımına,
o skaler fonksiyonun Gradienti adını vermekteyiz. Öyleyse
skaler bir fonksiyon olmak üzere Gradient;
 Olarak
ifade edilir. Tanımdan da görüldüğü üzere Skaler bir
fonksiyonu Dell operatörüyle çarparak, birinci bileşeni
o fonksiyonun x' e göre, ikinci bileşeni y' ye üçüncü
bileşeni z' ye göre türevi olan ve o fonksiyonun
Gradienti adını verdiğimiz yeni bir vektör elde
ediyoruz. Bulmuş olduğumuz bu Gradient ifadesi bir yüzeyin
teğet düzleminin veya normal doğrusunun denklemlerinin
bulunması gibi önemli hesaplamalarda işe yaramaktadır.
Şimdi bunları inceleyelim;
Gradient'
in Uygulamaları:
Şekilde mavi
ile görülen (x,y,z)=0
yüzeyini ele alalım ve bu (x,y,z)=0
fonksiyonunun diferansiyeline geçelim, öyleyse;
İfadesini
elde ederiz. Dikkat edilirse bu diferansiyel ifadesi (x,y,z)=0
fonksiyonunun Gradientinin, (x,y,z)=0
in teğet düzlemi içindeki bir vektör ile skaler çarpımıdır.
Yani bu söylediklerimizi matematiksel olarak ifade etmek
istersek yukarıdaki diferansiyel ifadesini şu şekilde de
yazabiliriz;
Burada dr vektörü şekilde kırmızı ile gösterilen
teğet düzlemi içindeki bir vektördür. Öyleyse (x,y,z)=0
fonksiyonunun M noktasındaki teğet düzlemi içindeki bir
vektör ile yine bu fonksiyonun Gradientinin skaler çarpımı
sıfıra eşittir. Bu da bize bir skaler fonksiyonun M
noktasındaki gradientinin, o fonksiyonun M noktasındaki teğet
düzlemine dik olduğu sonucunu verir. Bu gerçekten önemli
bir sonuçtur. Çünkü bu sayede, (x,y,z)=0
fonksiyonunun bir M noktasındaki teğet düzleminin
denklemini yine bir M noktasındaki normal doğrusunun
denklemini kolaylıkla bulabiliriz. Şimdi bunu nasıl
yapabileceğimizi kısaca ifade edelim;
Bir
Yüzeyin Teğet Düzlem Denklemi:
Şimdi
öncelikle teğet düzlemi içinden bir M0 (x0
, y0 , z0) noktası alalım ve Teğet
düzleminin yüzeye teğet olduğu M(x,y,z) noktası ile bu
noktayı birleştirelim. Böylece teğet düzlemi içinde
bir M0M (x-x0 , y-y0 , z-z0
) vektörü elde ederiz. Bu vektör bulduğumuz sonuca göre
(x,y,z)=0
fonksiyonunun Gradientine dik olacağından, bu Gradient
ifadesiyle bulduğumuz vektörü skaler olarak çarpıp sıfıra
eşitlersek, bir yüzeyin teğet düzleminin denklemini şu
şekilde elde ederiz;
Bir
Yüzeyin Normal Doğrusunun Denklemi:
(x,y,z)=0
yüzeyinin bir M0 noktasındaki normal doğrusunun,
yaptığımız bu açıklamalar doğrultusunda (x,y,z)=0
fonksiyonunun Gradientine paralel olan bir doğru olacağı
açıktır. Çünkü yüzeyin bir M0 noktasındaki
normal doğrusu, yüzeyin o noktadaki teğet düzlemine
diktir. Öyleyse bu yüzeyin normal doğrusu üzerinde
bir M(x,y,z) noktası alıp M0 (x0 , y0
, z0) noktası ile birleştirirsek Gradiente
paralel olan vektörü elde ederiz ve böylece bir yüzeyin
normal doğrusunun denklem ifadesi de;
olarak
elde edilir.
|
