| Vektörel
Çarpım
İki
vektörün vektörel çarpımı, bu iki vektörün
normlarıyla, vektörlerin arasındaki açının sinüsünün
(<180) çarpımı kadar brim vektör olarak tanımlanabilir.
Yani, vektörel çarpımı ,"e" brim vektör
olmak üzere, aşağıdaki gibi ifade edilebiliriz;
Dikkat
edilirse iki vektörün vektörel çarpımı sonucunda
yine bir vektör elde etmekteyiz. Yani vektörel çarpım
iki vektörü yeni bir vektöre götürür. Bu vektörün
özelliği ise vektörel çarpıma giren her iki vektöre
de dik olan vektör olmasıdır.
Ancak
burada dikkat edilmesi gereken diğer bir husus ise
vektörel çarpımın değişme özelliğinin olmadığıdır.
Vektörel çarpımda bileşenlerin çarpıma girme sıraları
arasında 
ilişkisi bulunmaktadır. Öyleyse A vektörü ile B
vektörünün, vektörel çarpımından elde edilen
vektör ile, B vektörü ile A vektörünün, vektörel
çarpımından elde edilen vektörler aynı doğrultuda
ve zıt yönlü vektörler olurlar. İki vektörün
vektörel çarpımıyla elde edilecek olan vektörün
(her iki vektöre de dik olan vektörün) yönünün
belirlenmesinde bazı yöntemler kullanılmaktadır.
Bunlardan (bana göre) en hoş olanını aşağıda
vermeye çalışalım;
Vektörlerin,
vektörel çarpıma girme sıralarına göre ilk bileşenin
yönünde sağ elimizi (şekilde ilk bileşen A),
ikinci bileşen yönünde de sol elimizi uzattığımızda
(şekilde B), başımızın gösterdiği yön, elde
edeceğimiz vektörün yönü olur.
Vektörel
çarpımın bir diğer özelliği de, normunun bu iki
vektör üzerine kurulan paralel kenarın alanına eşit
olmasıdır. Yani vektörel çarpım sonucunda elde
ettiğimiz vektörün normu, vektörel çarpıma giren
A ve B vektörlerinin üzerine kurulan paralel kenarın
alanına eşittir de diyebiliriz. Bunun ispatını şu
şekilde yapabiliriz;
İspat:
A
ve B vektörleri üzerine kurulu paralel kenar şekildeki
gibi olsun
, 
ve "e" brim vektör olmak üzere, paralel
kenarın alanını;
.....(*)
olarak ifade etmekteyiz. Ayrıca yukarıdaki şekilden
iki vektör arası açı olan sinüs ifadesinin de
olduğunu görüyoruz. Öyleyse vektörel çarpım
ifadesini yazarsak;
Böylece
vektörel çarpım sonucunda elde ettiğimiz vektörün
normunun, vektörel çarpıma giren A ve B vektörlerinin
üzerine kurulan paralel kenarın alanına eşit olduğunu
göstermiş oluyoruz.
|
