Index

• Pas op
• Stripverhaal van Pythagoras (ipv paragraaf met het schuiven vd driehoeken)
• Samenwerkingsopdracht
• Knip en plakopdracht
• Informatie van de uitgever.

Pas op

In het boek bepaalt de zijde die niet bekend is, welke tabel gebruikt wordt. Is de Lange zijde onbekend dan ontstaat er een tabel waarin opgeteld wordt. Is een RHZ onbekend, dan wordt een tabel gebruikt met een minteken. Vooral VMBO-ers willen dat nog wel eens lastig vinden. Mijn voorkeur gaat uit naar één tabel, zodat de zijdes steeds in dezelfde volgorde staan en uit het ontbrekende getal blijkt wat er berekend moet worden.

Hierboven zie je drie gevallen. Voorstel is om aanpak 2 te vergeten en 3 te doen, omdat de zijdes steeds op dezelfde volgorde staan. Het sommetje wordt dan "9 + iets = 25, wat is iets?", hetgeen bekend is.

Stripverhaal van Pythagoras.

Uitleg bij het stripverhaal

Plaatje 1: ik heb een vierkant waarin ik twee lijnen trek, evenwijdig aan de ribben, zodat er twee vierkanten en twee rechthoeken van gelijke grootte ontstaan. Voor het gemak geef ik de korte RHZ van de rechthoeken de naam a, en de lange RHZ de naam b. Dan zijn de aanliggende blauwe vierkanten a² respectievelijk b² groot.

Plaatje 2: Waar ik die blauwe vierkanten neerleg in het grote vierkant, maakt voor het blauwe oppervlakte niet uit. Dat blijft a2 + b2.

Plaatje 3: nu trek ik in de rechthoeken een diagonaal.

Plaatje 4: En ik kan de rechthoeken langs de diagonaal in tweeën knippen. Het blauwe oppervlakte verandert hierdoor niet van grootte. De rechthoeken waren even groot, de diagonalen zijn dus even lang, dus ik mag de lange zijdes van de driehoeken dezelfde naam geven.

Plaatje 5: Nu leg ik driehoeken langs de kant. Ook hierdoor verandert het oppervlakte van het blauwe deel niet. Maar wat ik ook zie, is dat het een vierkant is, want de lange zijdes van de driehoeken vormen de ribben van het vierkant. En die lange zijdes hadden we c genoemd. Het oppervlakte is dus c². En die c² is dus gelijk aan a² + b².

Samenwerkingsopdracht

Verdeel de klas in voldoende drietallen (eventueel is een viertal ook mogelijk). Als je echt willekeur wilt is het aftellen van het aantal groepen een mogelijkheid (dus bij 24 leerlingen, tellen 1 t/m 8 en dan nummers 1 bij elkaar, nummers 2 bij elkaar enz.)

De personen in de groep krijgen alle drie een rol. Ook hier is willekeur de mooiste vorm, dus nu aftellen A, B en C.

Persoon A: Voorzitter en sfeerbewaker. Deze persoon zorgt dat iedereen binnen het groepje tot zijn recht komt. Vooral bij sfeerbewaker denken veel leerlingen wat lichtvoetig over deze rol. Het is niet de bedoeling dat je moppen gaat tappen, een aanmoediging geven, een complimentje geven en soms een klein conflictje oplossen dragen bij tot een goede sfeer.

Persoon B: Notulant (voor leerlingen, de opschrijver). Hij/zij heeft pen en papier in aanslag en schrijft alle ideeën op. Hij of zij schrijft niet in zijn eentje het uiteindelijk nette product op, wel alle tussenfase en "kladideeën".

Persoon C: Tijdbewaker. Vooraf geef je een tijd voor de opdracht, de tijdbewaker moet zorgen dat er echt iets af is, als de tijd om is. Een half product is namelijk nooit voldoende.

Nu de eigenlijke opdracht:

"Bereken hoe lang de langste stok is die nog in zijn geheel in het lokaal past, zonder breken of buigen."

Daarvoor moet elk groepje eerst een plan maken. Wat ga je meten en hoe ga je daarna rekenen? In dat plan moet ook een duidelijke schets van de situatie zitten.

Daarna ga je het uitvoeren, en tenslotte lever je op tijd de antwoorden met de schets en de berekeningen in.

Het groepje heeft hiervoor uiterlijk 30 minuten.

Als het plan klaar is, komt de notulant dit aan de docent tonen, pas daarna mag je het plan echt gaan uitvoeren.

Zorg dat iedereen zijn bijdrage levert, alleen red je het waarschijnlijk niet binnen de tijd.

Tenslotte:

De opdracht gaat iets verder dan het boek, omdat hiervoor twee keer de stelling nodig is. Leerlingen moeten wel al de stelling weten en ook iets van de toepassingen hebben gedaan. Te denken valt aan de laatste les voor de toets. Eventueel kun je als inleiding aan opgave G-5 uit het M(H) boek of 32 uit VM boek denken, dit kun je als voorbereiding in de les of thuis laten maken.

(knip en plak) Opdracht wiskunde bij Pythagoras

Zoals ik wel eens hier en daar heb geventileerd zou ik graag met de houten borden willen werken uit het hoofdstuk Pythagoras van de tweede klas. Dit jaar weer niet gelukt om met mensen van Techniek afspraken te maken, maar misschien lukt het wel voor volgend jaar.

Een goed alternatief is de bijgevoegde opdracht. In mijn ogen juist prettig voor de praktisch ingestelde leerlingen.

Het is geen opdracht waar een speciale samenwerkingsvorm of structuur voor nodig is, iedere leerling kan het doen wanneer hij of zij er zin in heeft. Als je het klassikaal laat starten kan het wel een soort wedstrijd worden, wie als eerste e goede oplossing heeft gevonden.

Eigenlijk zijn de instructies heel simpel:

Iedere leerling krijgt blad 1. Verder krijgen ze de helft van blad 2 (2A) in bijv. kleur rood, en de helft van blad 2 (2B) in de kleur blauw. Een attente docent heeft al snel gezien dat deel 2A en 2B hetzelfde zijn alleen de kleur verschilt. Een leerling krijgt dus (Maar dat zeg je niet!) twee keer dezelfde puzzelstukjes in twee verschillende kleuren. Hij of zij moet nu proberen de stukjes van de ene kleur uit te knippen en daarmee het grote vierkant aan de lange zijde vullen. Als dat gelukt is dan laat je hem of haar met de andere kleur stukjes de kleine vierkanten vullen.

Let op: laat leerlingen het pas opplakken als ze het door jouw hebben laten controleren! Er zijn namelijk leerlingen, die een beetje rommelen en niet precies te werk gaan. Dan krijg je het er altijd wel in! Als je nu een beetje handig doet bij het uitdelen, dan zeg je in het ene groepje dat ze de rode stukken op het grote vierkant moeten passen en in het andere groepje dat ze de blauwe stukken in het vierkant moeten passen. Als er dan op een gegeven moment een stel klaar zijn, heb je een prachtig bewijs van de stelling! (hoewel attente leerlingen zelf ook al door hebben dat rood en blauw exact hetzelfde is).

Als je de twee versies aan de klas toont, is het voor iedereen duidelijk dat de oppervlakte van de twee kleine vierkanten evenveel is als de oppervlakte van het grote vierkant.

Ik heb de goede oplossing bijgevoegd en ook een oplossing waarbij je van de stukjes een rechthoek van 8 bij 13 maakt. Niets met Pythagoras te maken, maar wel een leuke puzzel voor de leerlingen die nog een uitdaging willen en de stukjes niet meteen hebben vastgeplakt.

Denk bij de puzzelstukjes aan wat dikker papier.

Informatie van de uitgever

7 De stelling van Pythagoras

Trefwoorden

rechthoekszijde, langste zijde, de stelling van Pythagoras, schema, rechthoekige driehoek

Inhoud van dit hoofdstuk

Door met rechthoekige driehoeken op twee vierkante borden te schuiven, wordt de stelling van Pythagoras aanschouwelijk gemaakt. Eerst wordt echter het begrip rechthoekszijde en langste zijde vastgelegd. Ook wordt vooraf het berekenen van oppervlakte, kwadraat en wortel nemen, herhaald. Om de lengte van de langste zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen worden vierkanten tegen de rechthoekszijden van de driehoek gelegd. Langzaam wordt dat afgebouwd en uiteindelijk wordt volstaan reet een schema waarin de zijden en hun kwadraten staan. In dit schema staat de langste zijde steeds onderaan. Vervolgens wordt de stelling van Pythagoras in een aantal praktische problemen toegepast. Tot slot is er aandacht voor het berekenen van een rechthoekszijde. Ook hier wordt het schema gebruikt. In de laatste paragraaf wordt de stelling van Pythagoras gebruikt in allerlei ruimtelijke situaties. In hoofdstuk 10 Doorsneden krijgt dit hoofdstuk een vervolg.

De plusparagraaf besteedt aandacht aan het gebruik van de stelling van Pythagoras in een piramide.

Werken met dit hoofdstuk

instap Diagonaal en oppervlakte

In een schilderij van Vassily Kandinsky zijn allerlei wiskundige vormen te herkennen. Op de linkerbladzijde van deze instap wordt in dit schilderij gezocht naar deze vormen. De rechterbladzijde van deze instap biedt de mogelijkheid leerlingen praktisch met driehoeken te laten experimenteren. Daarmee is deze instap een oriëntatie op de stelling van Pythagoras.

7.1 Rechthoekige driehoeken en vierkanten

Om de stelling van Pythagoras goed te kunnen gebruiken is het van essentieel belang dat leerlingen een aantal belangrijke vaardigheden beheersen. In deze paragraaf wordt aan deze vaardigheid aandacht besteed. Allereerst is het van belang dat leerlingen in een rechthoekige driehoek kunnen aanwijzen wat de rechthoekszijden en wat de langste zijde is. Daarnaast is het noodzakelijk dat leerlingen kunnen kwadrateren en dat ze in staat zijn de wortel van een getal te berekenen.

7.2 De stelling van Pythagoras

Door op de zijden van een rechthoekige driehoek vierkanten te leggen, wordt duidelijk gemaakt dat de oppervlakten van de twee vierkanten op de rechthoekszijden samen even groot zijn als de oppervlakte van het vierkant op de langste zijde.

7.3 Een zijde berekenen

De vierkanten op de zijden van de rechthoekige driehoek worden afgebouwd. Met behulp van het zijde-kwadraat-schema wordt eerst de langste zijde berekend. Het is van belang te benadrukken dat de langste zijde in zo'n schema altijd onderaan staat. Aan het slot van de paragraaf worden ook rechthoekszijden berekend.

7.4 De stelling toepassen

In verschillende concrete situaties moet een zijde-kwadraat-schema gemaakt worden. In deze paragraaf moet steeds het schema zelfstandig getekend worden. Na een praktisch voorbeeld wordt ook de afstand van twee roosterpunten in een assenstelsel berekend.

7.5 in de ruimte

In deze paragraaf worden problemen in ruimtelijke situaties opgelost door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras. Steeds moeten in ruimtelijke situaties rechthoekige driehoeken herkend worden.

+ in de piramide

Na eerst van een uitslag een piramide gemaakt te hebben, wordt de stelling van Pythagoras gebruikt om berekeningen in een piramide te maken.

Bezuinigen of inhalen